Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-2 y+z, x, x+2 y+z)
Determine os subespaços Ker(T) e Ima>=m(T). A seguir, apresente uma base para cada um e a respectiva dimensão.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-2y+z,;x,;x+2y+z)
e pede Ker(T) e Ima>=m(T), suas bases e dimensões. Vamos usar a matriz de T na base canônica para achar o núcleo (soluções de T(v)=0) e a imagem (espaço gerado pelas colunas).

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
M = 1 & -2 & 1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 1 ,
de modo que
Ker(T)=(x,y,z)inR^3mid M(x,y,z)^T=0
e
Ima>=m(T)=spancolunas de M.

Passo 3

Para
Da segunda equação vem , e em , logo e então .
Assim
dimensão e a base é o conjunto vazio.

Passo 4

Para Ima>=m(T) tomamos as colunas de M:
v1 = 111, v2 = -202, v3 = 101
Como det(M)=4neq0, essas três colunas são linearmente independentes e geram R^3. Portanto
Ima>=m(T)=R^3,
dimIma>=m(T)=3 e uma base é v1,v2,v3.

Resposta

Ker(T)=0,dimKer(T)=0, base vazia.
Ima>=m(T)=R^3,dimIma>=m(T)=3, base (1,1,1),,(-2,0,2),,(1,0,1).

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