Determine os subespaços e . A seguir, apresente uma base para cada um e a respectiva dimensão.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pede e , suas bases e dimensões. Vamos usar a matriz de na base canônica para achar o núcleo (soluções de ) e a imagem (espaço gerado pelas colunas).
Passo 2
A matriz de na base canônica é
de modo que Ker(T)=(x,y,z)inR^3mid M(x,y,z)^T=0
e Ima>=m(T)=spancolunas de M.
Passo 3
Para
Da segunda equação vem dá , e em dá , logo e então .
Assim
dimensão e a base é o conjunto vazio.
Passo 4
Para Ima>=m(T) tomamos as colunas de M:
v1 = 111, v2 = -202, v3 = 101
Como det(M)=4neq0, essas três colunas são linearmente independentes e geram R^3. Portanto
Ima>=m(T)=R^3,
dimIma>=m(T)=3 e uma base é v1,v2,v3.
Resposta
Ker(T)=0,dimKer(T)=0, base vazia. Ima>=m(T)=R^3,dimIma>=m(T)=3, base (1,1,1),,(-2,0,2),,(1,0,1).