Seja T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-3 x+y, 5 x+y).
Verifique se o operador linear T é diagonalizável, justificando sua resposta a partir dos conceitos de autovalores e autovetores. Se for, apresente a base ordenada de autovetores beta que diagonaliza T e a matriz diagonal D=(T)beta.

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^2toR^2 por
T(x,y)=(-3x+y,;5x+y)
e pede para verificar se T é diagonalizável, usando conceitos de autovalores e autovetores. Se for, devemos apresentar uma base ordenada de autovetores beta que diagonaliza T e a matriz diagonal D=(T)beta.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = -3 & 1 5 & 1
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det-3-lambda & 1 5 & 1-lambda = (-3-lambda)(1-lambda) - 5 = lambda^2 + 2lambda - 8
Resolvendo lambda^2+2lambda-8=0 por fórmula de Bhaskara,
lambda = -2pmraiz4+322 = -2pm62,
obtém-se os autovalores
lambda1 = 2, lambda2 = -4

Passo 3

Para , resolvemos :
Escolhendo , um autovetor correspondente é

Passo 4

Para , resolvemos :
Escolhendo , um autovetor correspondente é

Passo 5

Como encontramos dois autovetores linearmente independentes v1 e v2 em R^2, o operador T é diagonalizável. A base ordenada de autovetores que diagonaliza T é
beta = l,v1,;v2r = 15,;1-1,
e a matriz diagonal associada a T em beta é
D = (T)beta = 2 & 0 0 & -4

Resposta

A base ordenada de autovetores é
beta = 15,,1-1
e a matriz diagonal é
D = 2 & 0 0 & -4

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