Seja dada por .
Verifique se o operador linear é diagonalizável, justificando sua resposta a partir dos conceitos de autovalores e autovetores. Se for, apresente a base ordenada de autovetores que diagonaliza e a matriz diagonal .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
e pede para verificar se é diagonalizável, usando conceitos de autovalores e autovetores. Se for, devemos apresentar uma base ordenada de autovetores que diagonaliza e a matriz diagonal .
Passo 2
Escrevemos a matriz de na base canônica:
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico:
Resolvendo lambda^2+2lambda-8=0 por fórmula de Bhaskara,
lambda = -2pmraiz4+322 = -2pm62,
obtém-se os autovalores
lambda1 = 2, lambda2 = -4
Passo 3
Para , resolvemos :
Escolhendo , um autovetor correspondente é
Passo 4
Para , resolvemos :
Escolhendo , um autovetor correspondente é
Passo 5
Como encontramos dois autovetores linearmente independentes v1 e v2 em R^2, o operador T é diagonalizável. A base ordenada de autovetores que diagonaliza T é