Determine os autovalores e os autoespaços correspondentes. Caso exista, construa uma base formada por autovetores.
C=(lll 6 & 0 & 0 2 & 4 & 4 4 & 2 & 2 )

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores de
C= 6 & 0 & 0 [6pt] 2 & 4 & 4 [3pt] 4 & 2 & 2
e, para cada autovalor lambda, determinar o autoespaço ,xinR^3mid (C-lambda I)x=0. Em seguida, verificar se existe uma base de R^3 formada só por autovetores.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico det(C-lambda I). Como na primeira linha só há 6-lambda e zeros, temos
det(C-lambda I) =(6-lambda)det 4-lambda & 4 [3pt] 2 & 2-lambda
O determinante do 2times 2 é
(4-lambda)(2-lambda)-4cdot 2 =l(8-6lambda+lambda^2r)-8 =lambda^2-6lambda
Logo
det(C-lambda I) =(6-lambda)l(lambda^2-6lambdar) =(6-lambda),lambda,(lambda-6) ]

Passo 3

Do fator (6-lambda),lambda,(lambda-6) vemos que os autovalores são
lambda=0(mu<iplicidade algébrica 1), lambda=6(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Autovetores para
Da primeira equação vem . Tomando , obtemos
Portanto o autoespaço de é

Passo 5

Autovetores para
As duas últimas equações valem equivalentes a
Da primeira vem . Tomando ,
Logo o autoespaço de é

Passo 6

O autovalor lambda=6 tem multiplicidade algébrica 2, mas seu autoespaço E6 tem dimensão 1. Isso mostra que não conseguimos 3 autovetores independentes e, portanto, não existe base de R^3 formada apenas por autovetores de C.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
lambda=0, E0=span(0,-1,1), lambda=6, E6=span(0,2,1)
Não há base de R^3 formada só por autovetores de C, pois a dimensão total dos autoespaços é 1+1=2<3.

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