Sejam B=(1,-1),(0,2) e C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases do R^2 e R^3, respectivamente, e a transformação T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 y, x-y, x).
Determine (T)B, C.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
TcolonR^2toR^3, T(x,y)=(2y,;x-y,;x)
e pede a matriz de T relativa à base do domínio
B=(1,-1),(0,2)
e à base do contradomínio
C=(1,0,-1),;(0,1,2),;(1,2,0)
Para achar (T)B,C, basta calcular T em cada vetor de B e expressar esses resultados como combinações lineares dos vetores de C. As coordenadas obtidas formam as colunas da matriz buscada.

Passo 2

Calcular T nos vetores de B:
b1=(1,-1)Longrightarrow T(b1)=T(1,-1)=(2cdot(-1),,1-(-1),,1)=(-2,2,1),
b2=(0,2)Longrightarrow T(b2)=T(0,2)=(2cdot2,,0-2,,0)=(4,-2,0)

Passo 3

Expressar T(b1)=(-2,2,1) como combinação de
;c1=(1,0,-1),;c2=(0,1,2),;c3=(1,2,0).
Procuramos escalares a,b,c tais que
a,c1+b,c2+c,c3 =(a+c,;b+2c,;-a+2b) =(-2,2,1)
Isso gera o sistema
a+c=-2, b+2c=2, -,a+2b=1
Resolvendo:
a=-tfrac113, b=-tfrac43, c=tfrac53

Passo 4

Expressar T(b2)=(4,-2,0) em função de c1,c2,c3.
Procuramos alpha,beta,gamma tais que
alpha,c1+beta,c2+gamma,c3 =(alpha+gamma,;beta+2gamma,;-alpha+2beta) =(4,-2,0)
O sistema é
alpha+gamma=4, beta+2gamma=-2, -,alpha+2beta=0
Resolvendo:
alpha=tfrac203, beta=tfrac103, gamma=-tfrac83

Passo 5

As coordenadas de T(b1) e T(b2) na base C formam as colunas de (T)B,C. Logo,
(T)B,C = -tfrac113 & tfrac203[6pt] -tfrac43 & tfrac103[6pt] tfrac53 & -tfrac83 ]

Resposta

(T)B,C = -tfrac113 & tfrac203 -tfrac43 & tfrac103 tfrac53 & -tfrac83

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