Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z).
Verifique se o operador linear T é diagonalizável, justificando sua resposta. Se for, apresente a matriz M que diagonaliza A e a matriz diagonal D associada.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - 2y - 2z,;y,;2y + 3z,)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos:
1. montar a matriz A de T na base canônica,
2. calcular o polinômio característico e os autovalores,
3. achar os autovetores e comparar as multiplicidades algébrica e geométrica,
4. se der certo, exibir uma matriz de mudança de base M cujas colunas são autovetores e a matriz diagonal D.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) temos
T(e1) = (1,0,0), T(e2) = (-2,1,2), T(e3) = (-2,0,3)
Logo a matriz de T é
A = 1 & -2 & -2 [0.3em] 0 & 1 & 0 [0.3em] 0 & 2 & 3 ]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = 1-lambda & -2 & -2 [0.3em] 0 & 1-lambda & 0 [0.3em] 0 & 2 & 3-lambda = (1-lambda),l((1-lambda)(3-lambda)r) = (1-lambda)^2(3-lambda) ]

Passo 4

Os autovalores são
lambda1 = 1(mu< alg 2), lambda2 = 3(mu< alg 1)

Passo 5

Para
Daqui e livre. Logo
que tem dimensão geométrica , igual à multiplicidade algébrica.
Para resolvemos :
Então , isto é .
com dimensão geométrica , igual à multiplicidade algébrica.

Passo 6

Como para cada autovalor a dimensão do espaço próprio (geométrica) coincide com sua multiplicidade algébrica, concluímos que T é diagonalizável.

Passo 7

Escolhendo a base de autovetores
v1 = (1,0,0)(lambda=1), v2 = (0,-1,1)(lambda=1), v3 = (1,0,-1)(lambda=3),
a matriz de mudança de base M (colunas são v1,v2,v3) e a matriz diagonal D são
M = 1 & 0 & 1 [0.3em] 0 & -1 & 0 [0.3em] 0 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 [0.3em] 0 & 1 & 0 [0.3em] 0 & 0 & 3 ,
tal que M^-1AM = D.]

Resposta

T é diagonalizável. Uma escolha possível é
M = 1 & 0 & 1 [0.3em] 0 & -1 & 0 [0.3em] 0 & 1 & -1 , D = 1 & 0 & 0 [0.3em] 0 & 1 & 0 [0.3em] 0 & 0 & 3 ]

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