Mostre que a forma bilinear
em
é um produto escalar real em
é denominado o produto escalar canônico em
). Se
é a base canônica de
e
, mostre que podemos escrever
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma bilinear
em
satisfaz os axiomas de um produto escalar real (bilinearidade, simetria e positividade definida) e, em seguida, que na base canônica
vale
Passo 2
Verificamos primeiro simetria e bilinearidade. Dados
e
:
- simetria:
- linearidade no primeiro argumento:
Pela simetria, a forma é também linear em cada argumento.
Passo 3
Mostramos agora a positividade definida. Para qualquer
:
E
só se cada
, ou seja,
. Logo a forma é estritamente positiva quando
.
Passo 4
Finalmente, na base canônica
temos
. Então
Por isso
Resposta
A forma
satisfaz os axiomas de produto escalar em
, e para a base canônica vale