Mostre que a forma bilinear lang<=x, yrang<==sumj=1^n xj yj em V=R^n é um produto escalar real em V(lang<=cdot, cdotrang<= é denominado o produto escalar canônico em R^n ). Se S=e1, ldots, en é a base canônica de V e x in V, mostre que podemos escrever
x=sumj=1^nlang<=ej, xrang<= ej

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma bilinear
lang<= vec x,vec yrang<==sumj=1^nxjyj
em V=R^n satisfaz os axiomas de um produto escalar real (bilinearidade, simetria e positividade definida) e, em seguida, que na base canônica S=vec e1,dots,vec en vale
vec x=sumj=1^nlang<=vec ej,vec xrang<=,vec ej

Passo 2

Verificamos primeiro simetria e bilinearidade. Dados vec u,vec v,vec winR^n e ainR:
  1. simetria:
lang<= vec u,vec vrang<==sumj=1^n ujvj=sumj=1^n vjuj=lang<= vec v,vec urang<=
  1. linearidade no primeiro argumento:
lang<= vec u+vec v,vec wrang<= =sumj=1^n (uj+vj)wj =sumj=1^n ujwj+sumj=1^n vjwj =lang<= vec u,vec wrang<=+lang<= vec v,vec wrang<=,
lang<= a,vec u,vec wrang<= =sumj=1^n (a,uj)wj =asumj=1^n ujwj =a,lang<= vec u,vec wrang<=
Pela simetria, a forma é também linear em cada argumento.

Passo 3

Mostramos agora a positividade definida. Para qualquer vec xinR^n:
lang<= vec x,vec xrang<= =sumj=1^n xj^2>=0
E sumj=1^n xj^2=0 só se cada xj=0, ou seja, vec x=vec0. Logo a forma é estritamente positiva quando vec xnevec0.

Passo 4

Finalmente, na base canônica vec ej temos (vec ej)k=de<ajk. Então
lang<= vec ej,vec xrang<= =sumk=1^n(vec ej)k,xk =sumk=1^nde<ajk,xk =xj
Por isso
vec x=(x1,dots,xn) =sumj=1^n xj,vec ej =sumj=1^nlang<= vec ej,vec xrang<=,vec ej

Resposta

A forma lang<=vec x,vec yrang<==sumj=1^n xjyj satisfaz os axiomas de produto escalar em R^n, e para a base canônica vale
vec x=sumj=1^nlang<= vec ej,vec xrang<=,vec ej

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