Seja S=e1, e2 a base canônica de V=R^2 e A in M2 times 2(R). Defina omegaA: V^2 R por omegaA(x, y)=xS^T A yS.
a.) Mostre que omegaA é bilinear, i.e. satisfaz as propriedades de linearidade com respeito à primeira e segunda variáveis;
b.) Mostre que omegaA é um produto escalar em V se e somente se A=A^T, A1^1>0, A2^2>0 e det(A)>0.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a forma
omegaA(vec x,vec y)=vec xS^T A,vec yS,
onde Ain M2times2(R) e vec xS,vec yS são as coordenadas em relação à base canônica S. Vamos mostrar primeiro que omegaA é bilinear (linear em cada argumento) e depois caracterizar quando ela é um produto escalar, isto é, quando é simétrica e definida positiva.

Passo 2

Para a linearidade na primeira variável tomemos , e escalares . Então

Passo 3

Para a linearidade na segunda variável tomemos vec xin V, vec y,vec y'in V e escalares alpha,betainR. Usando distributividade à direita,
omegaA(vec x,alphavec y+betavec y') =vec xS^TA,(alphavec yS+betavec y'S) =alpha,vec xS^TA,vec yS+beta,vec xS^TA,vec y'S =alpha,omegaA(vec x,vec y)+beta,omegaA(vec x,vec y')

Passo 4

Para que omegaA seja um produto escalar em V ela deve satisfazer além da bilinearidade:
  1. simetria: omegaA(vec x,vec y)=omegaA(vec y,vec x) para todos vec x,vec y,
  2. positividade definida: omegaA(vec x,vec x)>0 para todo vec xneqvec 0.

Passo 5

A condição de simetria equivale a
vec xS^TA,vec yS =vec yS^TA,vec xS forall,vec x,vec y,
mas vec yS^TA,vec xS=(vec xS^TA^T,vec yS). Logo
vec xS^TA,vec yS =vec xS^TA^T,vec yS forall,vec x,vec y ;Longrightarrow; A=A^T

Passo 6

A positividade definida é
omegaA(vec x,vec x) =vec xS^TA,vec xS >0 forall,vec xneqvec 0,
isto é, A deve ser simétrica e definida positiva. Pelo critério de Sylvester em dimensão 2, isso equivale a exigir que todos os menores principais de A sejam positivos:
A1^1>0, A2^2>0, det(A)>0
Aqui Ai^i é a entrada da diagonal e det(A) é o menor principal de ordem 2.

Resposta

(a) omegaA é bilinear, pois é linear em cada argumento conforme mostrado.
(b) omegaA é um produto escalar em V se, e somente se,
A=A^T, A1^1>0, A2^2>0, det(A)>0

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