Seja
a base canônica de
e
. Defina
por
.
a.) Mostre que
é bilinear, i.e. satisfaz as propriedades de linearidade com respeito à primeira e segunda variáveis;
b.) Mostre que
é um produto escalar em
se e somente se
e
.
a.) Mostre que
b.) Mostre que
Passo 1
O enunciado define em
a forma
onde
e
são as coordenadas em relação à base canônica
. Vamos mostrar primeiro que
é bilinear (linear em cada argumento) e depois caracterizar quando ela é um produto escalar, isto é, quando é simétrica e definida positiva.
Passo 2
Para a linearidade na primeira variável tomemos
,
e escalares
. Então
Passo 3
Para a linearidade na segunda variável tomemos
,
e escalares
. Usando distributividade à direita,
Passo 4
Para que
seja um produto escalar em
ela deve satisfazer além da bilinearidade:
- simetria:
para todos , - positividade definida:
para todo .
Passo 5
A condição de simetria equivale a
mas
. Logo
Passo 6
A positividade definida é
isto é,
deve ser simétrica e definida positiva. Pelo critério de Sylvester em dimensão 2, isso equivale a exigir que todos os menores principais de
sejam positivos:
Aqui
é a entrada da diagonal e
é o menor principal de ordem 2.
Resposta
(a)
é bilinear, pois é linear em cada argumento conforme mostrado.
(b) é um produto escalar em
se, e somente se,
(b)