Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada pela matriz A, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
A=[cccc 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1 ]
Determinação do Núcleo e da Imagem:
Encontre o núcleo (ou espaço nulo) de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de T:R^4toR^3 dada pela matriz
A = 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1
O núcleo é o conjunto de vetores x=(x1,x2,x3,x4) tais que Ax=0. Vamos resolver o sistema homogêneo associado.

Passo 2

Escrevemos o sistema Ax=0, que corresponde a
x1 +2x2 ;-; x4 = 0, x2 +3x3 +2x4 = 0, x3 - x4 = 0

Passo 3

Da terceira equação x3-x4=0 obtemos
x3 = x4

Passo 4

Substituindo x3=x4 na segunda equação x2+3x3+2x4=0, fica
x2 +3x4+2x4 = 0 Longrightarrow x2 +5x4 = 0 Longrightarrow x2 = -5x4

Passo 5

Agora substituímos x2=-5x4 e x4 livre na primeira equação x1+2x2-x4=0:
x1 + 2(-5x4) - x4 = 0 Longrightarrow x1 -10x4 - x4 = 0 Longrightarrow x1 = 11x4

Passo 6

Chamando o parâmetro livre de t = x4, obtemos
x1 = 11t, x2 = -5t, x3 = t, x4 = t
Logo
x = t,(11,,-5,,1,,1)

Resposta

O núcleo de T é
ker(T) = l,t,(11,-5,1,1)mid tinRr

Exercícios relacionados