Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede a equação característica, os autovalores e bases dos autoespaços (autovetores) da matriz
O conteúdo é Álgebra Linear: usamos o fato de que
M é bloco-diagonal em dois blocos
2times2 , calculamos o polinômio característico de cada bloco, encontramos as raízes (autovalores) e, em seguida, resolvemos
(M-lambda I)x=0 para cada
lambda .
Passo 2
Como
M é bloco-diagonal com
temos
Passo 3
Calculamos cada fator:
Para
B1 :
Para
B2 :
Logo, a equação característica é
Passo 4
As raízes dessa equação dão os autovalores:
Passo 5
Para
, resolvemos
, ou seja
Como o bloco
não entra, estendemos com zeros em
. Assim uma base de
é
Passo 6
Para
lambda = iraiz3 , resolvemos
(B2 - iraiz3,I)w=0 :
Escolhendo
x4=1 , um vetor é
(0,0,2 - iraiz3,1) . Logo base de
Eiraiz3 é
Para
lambda = -,iraiz3 análogo, obtemos base de
E-,iraiz3 :
Resposta
Equação característica:
Autovalores:
lambda=4 (mult. 2),
lambda=iraiz3 ,
lambda=-,iraiz3 .
Bases dos autoespaços:
Paralambda=4 :
(3,2,0,0) .
Paralambda=iraiz3 :
(0,0,2 - iraiz3,1) .
Paralambda=-,iraiz3 :
(0,0,2 + iraiz3,1) .
Para
Para
Para