Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(i)
[rrrr 10 & -9 & 0 & 0 4 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -7 0 & 0 & 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica, os autovalores e bases dos autoespaços (autovetores) da matriz
M = 10 & -9 & 0 & 0 4 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -7 0 & 0 & 1 & 2
O conteúdo é Álgebra Linear: usamos o fato de que M é bloco-diagonal em dois blocos 2times2, calculamos o polinômio característico de cada bloco, encontramos as raízes (autovalores) e, em seguida, resolvemos (M-lambda I)x=0 para cada lambda.

Passo 2

Como M é bloco-diagonal com
B1 = 10 & -94 & -2, B2 = -2 & -71 & 2,
temos
det(M-lambda I) = det(B1-lambda I),det(B2-lambda I)

Passo 3

Calculamos cada fator:
Para B1:
det(B1-lambda I) = det10-lambda & -94 & -2-lambda =(10-lambda)(-2-lambda)-(-9cdot4) =lambda^2-8lambda+16 =(lambda-4)^2
Para B2:
det(B2-lambda I) = det-2-lambda & -71 & 2-lambda =(-2-lambda)(2-lambda)-(-7cdot1) =lambda^2+3
Logo, a equação característica é
det(M-lambda I)=(lambda-4)^2(lambda^2+3)=0

Passo 4

As raízes dessa equação dão os autovalores:
lambda1=4 (mu<iplicidade 2), lambda2 = iraiz3, lambda3 = -,iraiz3

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Como o bloco não entra, estendemos com zeros em . Assim uma base de é

Passo 6

Para lambda = iraiz3, resolvemos (B2 - iraiz3,I)w=0:
(-2 - iraiz3),x3 -7,x4 =0 ;Longrightarrow; x3 = 72 + iraiz3,x4 = (2 - iraiz3),x4
Escolhendo x4=1, um vetor é (0,0,2 - iraiz3,1). Logo base de Eiraiz3 é
l,(0,0,2 - iraiz3,1)r
Para lambda = -,iraiz3 análogo, obtemos base de E-,iraiz3:
l,(0,0,2 + iraiz3,1)r

Resposta

Equação característica:
(lambda-4)^2(lambda^2+3)=0
Autovalores:
lambda=4 (mult. 2), lambda=iraiz3, lambda=-,iraiz3.
Bases dos autoespaços:
Para lambda=4:
(3,2,0,0).
Para lambda=iraiz3:
(0,0,2 - iraiz3,1).
Para lambda=-,iraiz3:
(0,0,2 + iraiz3,1).

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