Considere a transformação linear dada pela matriz , que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
Determinação do Núcleo e da Imagem:
Determine uma base para a imagem (ou espaço coluna) de T.
Passo 1
O enunciado considera a transformação linear T: R^4 to R^3 dada pela matriz
A = 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1
Queremos determinar uma base para a imagem de T, isto é, para o espaço coluna de A. Sabemos que a imagem é gerada pelas colunas de A e basta extrair delas um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Escrevemos explicitamente as colunas de A como vetores em R^3:
c1 = 100, c2 = 210, c3 = 031, c4 = -12-1
Uma base do espaço coluna é dada pelas colunas que contêm pivôs na forma escalonada de A.
Passo 3
Observamos que, ao escalonar A, aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso mostra que c1,c2,c3 são linearmente independentes. Em particular, c4 pode ser expresso em função dessas três:
c4 = -11,c1 ;+;5,c2;-;1,c3,
logo não acrescenta nova direção ao espaço coluna.
Passo 4
Concluímos que uma base para Im(T) é o conjunto formado por c1, c2 e c3.