Considere a transformação linear T: R^6 R^3 definida pela lei de formação abaixo:
T[l x1 x2 x3 x4 x5 x6 ]=[l x1+x2 x3-x4 x5+x6 ]
Bases Ortogonais:
Encontre uma base ortonormal para o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^6toR^3, Tl(x1,x2,x3,x4,x5,x6r) =l(x1+x2,,x3-x4,,x5+x6r),
e pede uma base ortonormal de ker T. Vamos usar teoria de kernels de transformações lineares: resolver T(x)=0, achar uma base e então ortonormalizá-la (aqui já surge naturalmente um conjunto ortogonal).

Passo 2

Impondo T(x)=0 obtemos o sistema
x1+x2=0, x3-x4=0, x5+x6=0
Desses, isolamos
x2=-x1, x4=x3, x6=-x5

Passo 3

Parametrizando pelos livres x1,x3,x5, um vetor genérico em ker T é
(x1,-x1,x3,x3,x5,-x5) = x1(1,-1,0,0,0,0)+x3(0,0,1,1,0,0)+x5(0,0,0,0,1,-1)
Logo uma base natural de ker T é
u1=(1,-1,0,0,0,0), u2=(0,0,1,1,0,0), u3=(0,0,0,0,1,-1)

Passo 4

Verificamos que estes vetores são mutuamente ortogonais no produto interno usual em R^6, pois
uicdot uj=0(para ineq j),
e cada |ui|=raiz2.

Passo 5

Basta então normalizar cada ui dividindo por raiz2. Obtemos a base ortonormal
e1=1raiz2(1,-1,0,0,0,0), e2=1raiz2(0,0,1,1,0,0), e3=1raiz2(0,0,0,0,1,-1)

Resposta

l tfrac1raiz2(1,-1,0,0,0,0),; tfrac1raiz2(0,0,1,1,0,0),; tfrac1raiz2(0,0,0,0,1,-1) r

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