Considere a transformação linear
dada pela matriz
, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
Injetividade e Sobrejetividade:
Verifique se a transformação linear
T é injetiva. Justifique sua resposta.
Verifique se a transformação linear
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
representada pela matriz
Para que
seja injetiva, seu núcleo deve ser trivial, isto é, . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema do posto e nulidade), sabemos que
Passo 2
Vamos encontrar inspecionando os pivôs na forma escalonada já dada. A matriz está em escalonada superior com pivôs em
- coluna 1 (linha 1),
- coluna 2 (linha 2),
- coluna 3 (linha 3).
Logo
Passo 3
Como e o espaço de partida tem dimensão 4, temos
Isto significa que existe vetor não-nulo em , ou seja, a aplicação não envia apenas o vetor zero para zero.
Resposta
A transformação
não é injetiva, pois implica .