Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada pela matriz A, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
A=[cccc 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1 ]
Injetividade e Sobrejetividade:
Verifique se a transformação linear T é injetiva. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear representada pela matriz
Para que seja injetiva, seu núcleo deve ser trivial, isto é, . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema do posto e nulidade), sabemos que

Passo 2

Vamos encontrar inspecionando os pivôs na forma escalonada já dada. A matriz está em escalonada superior com pivôs em
  • coluna 1 (linha 1),
  • coluna 2 (linha 2),
  • coluna 3 (linha 3).
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Passo 3

Como e o espaço de partida tem dimensão 4, temos
Isto significa que existe vetor não-nulo em , ou seja, a aplicação não envia apenas o vetor zero para zero.

Resposta

A transformação não é injetiva, pois implica .

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