Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada pela matriz A, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
A=[cccc 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1 ]
Bases Ortogonais:
Encontre uma base ortonormal para o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede a base ortonormal do núcleo de T:R^4toR^3 dada por
A= 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1
Vamos resolver A x = 0 para achar um vetor que gera o núcleo e depois normalizar.

Passo 2

Escrevendo x=(x1,x2,x3,x4), o sistema A x = 0 resulta em
x1 + 2x2 - x4 = 0, x2 + 3x3 + 2x4 = 0, x3 - x4 = 0
Da terceira equação temos x3 = x4. Substituindo na segunda obtemos
x2 = -3x4 - 2x4 = -5x4,
e em seguida na primeira
x1 = -2x2 + x4 = 10x4 + x4 = 11x4
Logo
x = x4,(11,,-5,,1,,1),
ou seja, ker(T) é gerado por v = (11,-5,1,1).

Passo 3

Para obter uma base ortonormal, normalizamos v. O seu comprimento é
|v| = raiz11^2 + (-5)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz121 + 25 + 1 + 1 = raiz148 = 2raiz37
Logo um vetor unitário que gera o núcleo é
e = 12raiz37,(11,,-5,,1,,1)

Resposta

Uma base ortonormal para ker(T) é
,12raiz37,(11,,-5,,1,,1)

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