Considere a transformação linear T: R^6 R^3 definida pela lei de formação abaixo:
T[l x1 x2 x3 x4 x5 x6 ]=[l x1+x2 x3-x4 x5+x6 ]
Determinação da Matriz da Transformação Linear:
Determine a matriz A que representa a transformação linear T na base canônica para R^6 e R^3.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^6toR^3, Tl[x1,x2,x3,x4,x5,x6r]^T = l[x1+x2,,x3-x4,,x5+x6r]^T
O objetivo é encontrar a matriz A tal que T(x)=A,x nas bases canônicas de R^6 e R^3. Para isso, basta calcular T(ei) para cada vetor canônico ei de R^6 e usar esses resultados como colunas de A.

Passo 2

Seja ei o i-ésimo vetor da base canônica de R^6, ou seja
ei = (0,dots,0,1,0,dots,0)^T
com 1 na coordenada i. Então a i-ésima coluna de A é T(ei).

Passo 3

Calculamos as imagens dos vetores canônicos:
T(e1) &= [1+0,,0-0,,0+0]^T = [1,0,0]^T, T(e2) &= [0+1,,0-0,,0+0]^T = [1,0,0]^T, T(e3) &= [0+0,,1-0,,0+0]^T = [0,1,0]^T, T(e4) &= [0+0,,0-1,,0+0]^T = [0,-1,0]^T, T(e5) &= [0+0,,0-0,,1+0]^T = [0,0,1]^T, T(e6) &= [0+0,,0-0,,0+1]^T = [0,0,1]^T

Passo 4

A matriz A é obtida colocando essas colunas em ordem:
A = 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1

Resposta

A = 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1

Exercícios relacionados