Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada pela matriz A, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
A=[cccc 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1 ]
Injetividade e Sobrejetividade:
Determine se T é sobrejetiva. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^4toR^3
definida pela matriz
A= 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1
Para saber se T é sobrejetiva, lembramos que uma aplicação linear é sobrejetiva se, e somente se,
rank(A)=dim(codomínio)=3 í

Passo 2

Note que A já está em forma escalonada por linhas, com pivôs em
  • coluna 1 (linha 1),
  • coluna 2 (linha 2),
  • coluna 3 (linha 3).
    Isso mostra que
rank(A)=3

Resposta

Como rank(A)=3=dim(R^3), a transformação T é sobrejetiva.

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