Considere a transformação linear
dada pela matriz
, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
Bases Ortogonais:
Encontre uma base ortonormal para a imagem de
T .
Encontre uma base ortonormal para a imagem de
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal para
Im(T) , que é o espaço gerado pelas colunas de
O conteúdo é encontrar uma base para o espaço coluna de
A e, em seguida, ortonormalizá-la pelo processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Primeiro encontramos a dimensão de
Im(T) . As três primeiras colunas
são linearmente independentes (e a quarta é combinação linear delas), logo
dimIm(T)=3 . Assim,
c1,c2,c3 é uma base de
Im(T) .
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt a
Definimos
Passo 4
Subtraímos de
v2 a projeção em
e1 :
e normalizamos:
Passo 5
Para
v3 , subtraímos projeções em
e1 e
e2 :
e normalizamos:
Resposta
Uma base ortonormal de
Im(T) é