Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada pela matriz A, que pode ser representada na forma de tabela abaixo:
A=[cccc 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1 ]
Bases Ortogonais:
Encontre uma base ortonormal para a imagem de T.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal para Im(T), que é o espaço gerado pelas colunas de
A= 1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & -1
O conteúdo é encontrar uma base para o espaço coluna de A e, em seguida, ortonormalizá-la pelo processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Primeiro encontramos a dimensão de Im(T). As três primeiras colunas
c1=(1,0,0), c2=(2,1,0), c3=(0,3,1)
são linearmente independentes (e a quarta é combinação linear delas), logo dimIm(T)=3. Assim, c1,c2,c3 é uma base de Im(T).

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a
v1=c1=(1,0,0), v2=c2=(2,1,0), v3=c3=(0,3,1)
Definimos
u1=v1=(1,0,0), e1=u1|u1|=(1,0,0)

Passo 4

Subtraímos de v2 a projeção em e1:
u2=v2-llang<= v2,e1rrang<= e1 =(2,1,0)-2,(1,0,0)=(0,1,0),
e normalizamos:
e2=u2|u2|=(0,1,0)

Passo 5

Para v3, subtraímos projeções em e1 e e2:
u3=v3-lang<= v3,e1rang<= e1-lang<= v3,e2rang<= e2 =(0,3,1)-0,(1,0,0)-3,(0,1,0)=(0,0,1),
e normalizamos:
e3=u3|u3|=(0,0,1)

Resposta

Uma base ortonormal de Im(T) é
(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)

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