Considere a transformação linear T: R^6 R^3 definida pela lei de formação abaixo:
T[l x1 x2 x3 x4 x5 x6 ]=[l x1+x2 x3-x4 x5+x6 ]
Determinação do Núcleo e da Imagem:
Determine uma base para a imagem (ou espaço coluna) de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^6toR^3, Tl(x1,x2,x3,x4,x5,x6r) =l(x1+x2,,x3-x4,,x5+x6r)
Queremos encontrar uma base para a imagem de T. Para isso, vamos usar a representação matricial de T nas bases canônicas e estudar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica de R^6 e R^3, obtemos a matriz
A= 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
de modo que T(x)=A,x.

Passo 3

As colunas de A são
v1=100,; v2=100,; v3=010,; v4=0-10,; v5=001,; v6=001

Passo 4

Note que
v2=v1, v4=-,v3, v6=v5,
ou seja, as colunas não repetidas e linearmente independentes são v1, v3 e v5. Portanto elas formam uma base do espaço coluna de A, que é exatamente a imagem de T.

Resposta

Uma base para Im(T) é
l,100,, 010,, 001r

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