Considere a transformação linear
definida por
(a) Determine uma base e a dimensão de
.
(b) Determine uma base e a dimensão de
.
(c)
é um isomorfismo? Justifique.
(b) Determine uma base e a dimensão de
(c)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Vamos determinar a base e a dimensão de
e de
e, por fim, verificar se
é um isomorfismo. Para isso usaremos as definições de núcleo (
), imagem (
), base, dimensão e o teorema do posto e nulidade.
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Da equação
vem
. Logo, um vetor genérico do núcleo é
então
e .
e
Passo 3
Para
, escrevemos
onde
percorre todos os reais (basta escolher, por exemplo,
,
). Logo
e .
e
Passo 4
Pelo teorema do posto e nulidade em
vale
o que está consistente com os valores encontrados. Como
e
,
não é injetora nem sobrejetora, portanto não é um isomorfismo.
Resposta
(a) A base de
é
. A dimensão é
.
(b) A base de é
. A dimensão é
.
(c) não é um isomorfismo, pois não é injetora nem sobrejetora.
(b) A base de
(c)