Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(2 x-y, 0)
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).
(c) T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2to R^2 por
T(x,y) = (2x - y,,0)
Vamos determinar a base e a dimensão de Ker(T) e de Im(T) e, por fim, verificar se T é um isomorfismo. Para isso usaremos as definições de núcleo ( vmid T(v)=0), imagem ( T(v)mid vinR^2), base, dimensão e o teorema do posto e nulidade.

Passo 2

Para achar , resolvemos
Da equação vem . Logo, um vetor genérico do núcleo é
então

e .

Passo 3

Para , escrevemos
onde percorre todos os reais (basta escolher, por exemplo, , ). Logo

e .

Passo 4

Pelo teorema do posto e nulidade em R^2 vale
dim(Ker(T))+dim(Im(T))=2,
o que está consistente com os valores encontrados. Como dim(Ker(T))neq0 e dim(Im(T))neq2, T não é injetora nem sobrejetora, portanto não é um isomorfismo.

Resposta

(a) A base de Ker(T) é (1,2). A dimensão é 1.
(b) A base de Im(T) é (1,0). A dimensão é 1.
(c) T não é um isomorfismo, pois não é injetora nem sobrejetora.

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