Considere a transformação linear
definida por
(a) Determine uma base e a dimensão de
.
(b) Determine uma base e a dimensão de
.
(c)
é um isomorfismo? Justifique.
(b) Determine uma base e a dimensão de
(c)
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear
e pede (a) base e dimensão de
, (b) base e dimensão de
e (c) verificar se
é isomorfismo. Vamos usar as definições de núcleo e imagem e o Teorema do Postulado da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para determinar
Da primeira equação vem . Logo todo vetor do núcleo é da forma
Portanto
e assim
.
Passo 3
Para
podemos usar as colunas da matriz de
ou computar
em cada vetor da base canônica de
:
Esses três vetores em
geram
Como
, basta
como base de
, e daí
.
Passo 4
Para
ser isomorfismo, ela deve ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Já vimos que
, logo
não é injetora. Alternativamente,
impede isomorfismo. Portanto
não é isomorfismo.
Resposta
(a)
(b)
(c) não é isomorfismo, pois
(não é injetora) e
.
(b)
(c)