Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+z)
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).
(c) T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;y+z),
e pede (a) base e dimensão de ker(T), (b) base e dimensão de Im(T) e (c) verificar se T é isomorfismo. Vamos usar as definições de núcleo e imagem e o Teorema do Postulado da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para determinar
Da primeira equação vem . Logo todo vetor do núcleo é da forma
Portanto
e assim .

Passo 3

Para podemos usar as colunas da matriz de ou computar em cada vetor da base canônica de :
Esses três vetores em geram
Como , basta
como base de , e daí .

Passo 4

Para T ser isomorfismo, ela deve ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Já vimos que dimker(T)=1>0, logo T não é injetora. Alternativamente, dimR^3neqdimR^2 impede isomorfismo. Portanto T não é isomorfismo.

Resposta

(a)
(b)
(c) não é isomorfismo, pois (não é injetora) e .

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