Considere a transformação linear definida por , onde .
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).
(c) T é um isomorfismo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a transformação linear
T:M(2,2)toM(2,2), T(X)=A,X+X,
onde
A=1&10&0
Precisamos achar ker(T) e Im(T), suas bases e dimensões, e dizer se T é isomorfismo.
Passo 2
Seja
Então
e daí
Passo 3
Para ker(T) impomos T(X)=0, i.e.
2x+z=0,2y+w=0, z=0, w=0
Das duas últimas vem z=0, w=0, e então x=0, y=0. Logo
ker(T)=0, dimker(T)=0,
e a base é o conjunto vazio.
Passo 4
Para tomamos um genérico
e resolvemos
Escolhendo , , , obtemos solução para todo . Portanto
e uma base conveniente é , onde tem 1 na posição e 0 nas demais.
Passo 5
Como dimker(T)=0 e dimIm(T)=4=dimM(2,2), T é injetora e sobrejetora em espaço de mesma dimensão. Logo T é isomorfismo.
Resposta
(a) ker(T)=0, dimker(T)=0, base vazia.
(b) Im(T)=M(2,2), dimIm(T)=4, base E11,E12,E21,E22.
(c) T é isomorfismo, pois é linear, injeta (núcleo trivial) e sobrejeta (imagem todo o espaço de dimensão 4).