Determine:
(a) .
(b) Uma base e a dimensão de .
(c) Uma base e a dimensão de .
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear sabendo apenas e .
Precisamos:
a) obter a expressão geral ;
b) encontrar base e dimensão de ;
c) encontrar base e dimensão de .
Para isso vamos usar: . a linearidade de e o fato de , formarem base de ; . a definição de núcleo como soluções de ; . a imagem como o subespaço gerado pelos vetores e .
Passo 2
Como
Isso gera o sistema
cuja solução é
Pela linearidade de (T] segue
Substituindo os valores dados, obtemos
Passo 3
O núcleo
Isso equivale ao sistema
cuja única solução é .
Logo
sendo a dimensão de igual a e sua base o conjunto vazio.
Passo 4
A imagem Im(T) é o subespaço gerado pelos vetores ,T(1,-1)=(3,2,-2) e ,T(-1,2)=(1,-1,3).
Como esses dois vetores são linearmente independentes em R^3, eles formam uma base de Im(T), cuja dimensão é 2.