Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3)
Determine:
(a) T(x, y).
(b) Uma base e a dimensão de Ker(T).
(c) Uma base e a dimensão de Im(T).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^2toR^3 sabendo apenas
T(1,-1)=(3,2,-2) e
T(-1,2)=(1,-1,3).
Precisamos:
a) obter a expressão geral T(x,y);
b) encontrar base e dimensão de ker(T);
c) encontrar base e dimensão de Im(T).
Para isso vamos usar:
1. a linearidade de T e o fato de (1,-1), (-1,2) formarem base de R^2;
2. a definição de núcleo como soluções de T(x,y)=0;
3. a imagem como o subespaço gerado pelos vetores T(1,-1) e T(-1,2).

Passo 2

Como
Isso gera o sistema
cuja solução é
Pela linearidade de (T] segue

Substituindo os valores dados, obtemos

Passo 3

O núcleo
Isso equivale ao sistema
cuja única solução é .
Logo
sendo a dimensão de igual a e sua base o conjunto vazio.

Passo 4

A imagem Im(T) é o subespaço gerado pelos vetores
,T(1,-1)=(3,2,-2) e ,T(-1,2)=(1,-1,3).
Como esses dois vetores são linearmente independentes em R^3, eles formam uma base de Im(T), cuja dimensão é 2.

Resposta

(a) ;T(x,y)=(7x+4y,;3x+y,;-x+y)
(b) ;ker(T)=(0,0), dimker(T)=0, base = emptyset.
(c) ;Im(T)=span(3,2,-2),(1,-1,3), dimIm(T)=2.

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