Considere a transformação linear T: R^4 R^3 definida por
T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).
(b) Determine uma base e a dimensão de Im(T).
(c) T é injetora? Justifique.
(d) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^4toR^3 por
T(x,y,z,t) = (,x-y+z+t,;x+2z-t,;x+y+3z-3t,)
Queremos (a) ker(T), (b) Im(T), (c) saber se T é injetora e (d) se é sobrejetora. Vamos usar redução de matriz, Teorema do Núcleo e Imagem e Teorema do Núcleo-Imagem ( dimker+dimIm=4).

Passo 2

Escrevemos a matriz de T em relação às bases canônicas:
A = 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3
Fazendo R2 R2-R1 e R3 R3-R1 obtemos
1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & 2 & -4 ;xrightarrowR3 R3-2R2; 1 & -1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0
Desta forma rank(A)=2.

Passo 3

Como rank(A)=2, segue
dimIm(T)=2
Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, logo uma base para Im(T) é dada pelas primeiras duas colunas de A:
(1,1,1),;(-1,0,1)

Passo 4

Para
Da segunda equação e são livres. Seja , . Então

Passo 5

Portanto
dimker(T)=2,
e uma base de ker(T) é
,(-2,-1,1,0),;(1,2,0,1)

Passo 6

(a) Como dimker(T)=2>0, ker(T)neq0, T não é injetora.
(b) Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetora.

Resposta

(a) ker(T) tem dimensão 2 e base (-2,-1,1,0),(1,2,0,1)
(b) Im(T) tem dimensão 2 e base (1,1,1),(-1,0,1)
(c) T não é injetora, pois dimker(T)=2>0
(d) T não é sobrejetora, pois dimIm(T)=2<3

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