(a) Determine uma base e a dimensão de .
(b) Determine uma base e a dimensão de .
(c) é injetora? Justifique.
(d) é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define por
Queremos (a) , (b) , (c) saber se é injetora e (d) se é sobrejetora. Vamos usar redução de matriz, Teorema do Núcleo e Imagem e Teorema do Núcleo-Imagem ().
Passo 2
Escrevemos a matriz de em relação às bases canônicas:
Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, logo uma base para Im(T) é dada pelas primeiras duas colunas de A:
(1,1,1),;(-1,0,1)
Passo 4
Para
Da segunda equação e são livres. Seja , . Então
Passo 5
Portanto
dimker(T)=2,
e uma base de ker(T) é
,(-2,-1,1,0),;(1,2,0,1)
Passo 6
(a) Como dimker(T)=2>0, ker(T)neq0, T não é injetora.
(b) Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetora.
Resposta
(a) ker(T) tem dimensão 2 e base (-2,-1,1,0),(1,2,0,1)
(b) Im(T) tem dimensão 2 e base (1,1,1),(-1,0,1)
(c) T não é injetora, pois dimker(T)=2>0
(d) T não é sobrejetora, pois dimIm(T)=2<3