Mostre que
é subespaço vetorial do
, determine uma base, a dimensão e encontre o seu subespaço vetorial complementar.
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço vetorial de
, depois determinar uma base de
, sua dimensão e achar um subespaço vetorial complementar. Vamos usar o critério de subespaço, parametrizar
para encontrar geradores e, por fim, escolher um complemento direto em
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, verificamos três propriedades:
- O vetor zero está em
porque, tomando , obtemos . - Fechamento sob soma: se
e , então
e
é outro parâmetro em
, logo
.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: para ,
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: para
e
também é real, então
.
Portanto, satisfaz os requisitos de subespaço.
Portanto,
Passo 3
Vamos parametrizar
em função de
. Todo vetor de
é da forma
Isto mostra que
Passo 4
Como
é gerado por um único vetor não-nulo, uma base de
é
e a dimensão de
é
Passo 5
Para achar um subespaço complementar
de
em
, basta escolher dois vetores que, junto com
, formem base de
. Uma escolha simples é
Definimos
Para ver que
, note que dado
podemos escrever
e
. A interseção
é somente o zero, pois se
então
. Logo
é complemento direto de
.
Resposta
A base de
é
,
e um subespaço complementar é