Mostre que S é subespaço vetorial do R^3, determine uma base, a dimensão e encontre o seu subespaço vetorial complementar.
S=(x, y, z) / x=3 y e z=-2 y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = (x,y,z)inR^3 mid x=3y,;z=-2y
é um subespaço vetorial de R^3, depois determinar uma base de S, sua dimensão e achar um subespaço vetorial complementar. Vamos usar o critério de subespaço, parametrizar S para encontrar geradores e, por fim, escolher um complemento direto em R^3.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço vetorial, verificamos três propriedades:
  1. O vetor zero está em S porque, tomando y=0, obtemos (x,y,z)=(0,0,0).
  2. Fechamento sob soma: se u=(3y1,y1,-2y1)in S e v=(3y2,y2,-2y2)in S, então
u+v=(3(y1+y2),,y1+y2,,-2(y1+y2))
e y1+y2 é outro parâmetro em R, logo u+vin S.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar: para lambdainR,
lambdau = (,3(lambda y1),,lambda y1,,-2(lambda y1),)
e lambda y1 também é real, então lambdauin S.
Portanto, S satisfaz os requisitos de subespaço.

Passo 3

Vamos parametrizar S em função de y. Todo vetor de S é da forma
(x,y,z) = (3y,y,-2y) = y,(3,1,-2)
Isto mostra que
S = span(3,1,-2)

Passo 4

Como S é gerado por um único vetor não-nulo, uma base de S é
(3,1,-2),
e a dimensão de S é
dim S = 1

Passo 5

Para achar um subespaço complementar T de S em R^3, basta escolher dois vetores que, junto com (3,1,-2), formem base de R^3. Uma escolha simples é
(1,0,0)e(0,0,1)
Definimos
T = span(1,0,0),,(0,0,1) = (a,0,c)mid a,cinR
Para ver que Soplus T=R^3, note que dado (x,y,z)inR^3 podemos escrever
(x,y,z) = y,(3,1,-2) + (,x-3y,,0,,z+2y)
e (x-3y,0,z+2y)in T. A interseção Scap T é somente o zero, pois se y(3,1,-2) = (a,0,c) então y=0. Logo T é complemento direto de S.

Resposta

A base de S é (3,1,-2), dim S=1 e um subespaço complementar é
T = (a,0,c)mid a,cinR = span(1,0,0),,(0,0,1)

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