Resolva o problema de mínimos quadrados para ajustar uma parábola da forma
y=a x^2+b x+c
aos pontos (-1,1),(0,0),(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o ajuste pelo método de mínimos quadrados de uma parábola da forma
y = a x^2 + b x + c
aos pontos (-1,1), (0,0) e (1,1).
O conteúdo aqui é ajuste polinomial de segundo grau usando as equações normais
A^TA,theta = A^Ty,
onde theta=(a,b,c)^T.

Passo 2

Vamos montar a matriz de projeto A e o vetor de observações y. Para cada ponto (xi,yi) criamos a linha l[xi^2,,xi,,1r]. Assim,
A = (-1)^2 & -1 & 1 0^2 & 0 & 1 1^2 & 1 & 1 = 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 , y = 101

Passo 3

Calculamos A^TA e A^Ty via somas:
A^TA = sum xi^4 & sum xi^3 & sum xi^2 sum xi^3 & sum xi^2 & sum xi sum xi^2 & sum xi & sum 1 = 2 & 0 & 2 0 & 2 & 0 2 & 0 & 3 ,
A^Ty = sum xi^2yi sum xiyi sum yi = 2 0 2

Passo 4

As equações normais são
2a + 0cdot b + 2c = 2, 0cdot a + 2b + 0cdot c = 0, 2a + 0cdot b + 3c = 2
Da segunda equação vem 2b=0, logo b=0.
Das outras duas temos
2a + 2c = 2, 2a + 3c = 2
Subtraindo a primeira da segunda dá c=0 e daí a=1.

Resposta

a=1, b=0 e c=0.

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