Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3, com, definida por
T(x, y)=(x+y, 2 x+5 y, x-y)
Determine a matriz [T]beta^alpha quando
(a) alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y)=(x+y,;2x+5y,;x-y)
e pede a matriz de T relativa à base canônica alpha=(1,0),(0,1) de R^2 e à base beta=(1,2,0),(1,1,0),(1,-1,1) de R^3. Para isso, vamos:
1. Calcular T em cada vetor de alpha.
2. Expressar esses vetores em coordenadas na base beta.
3. Montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Calculemos primeiro
T(1,0) = (1+0,;2cdot1+5cdot0,;1-0) = (1,2,1),
T(0,1) = (0+1,;2cdot0+5cdot1,;0-1) = (1,5,-1)

Passo 3

Para expressar
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem , i.e.\ . Substituindo na segunda:
Logo

Passo 4

Para
resultando em
Temos . Da segunda,
Subtraindo de , e então . Assim

Passo 5

A matriz de T de alpha em beta tem colunas [T(1,0)]beta e [T(0,1)]beta. Logo
[T]beta^alpha = 3 & 2 -3 & 0 1 & -1

Resposta

[T]beta^alpha = 3 & 2 -3 & 0 1 & -1

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