Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(g) T: P2 longrightarrow R^2, com T(a2 x^2+a1 x+a0)=(a2-a0, 2 a0-a1).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon P2to R^2
por
Tl(a2x^2+a1x+a0r) = l(a2-a0,,2a0-a1r)
Para que T seja transformação linear, ela deve satisfazer duas propriedades:
  1. aditividade: T(p+q)=T(p)+T(q) para quaisquer p,q;
  2. homogeneidade: T(c,p)=c,T(p) para todo escalar c.

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
p(x)=a2x^2+a1x+a0, q(x)=b2x^2+b1x+b0
Então
p+q = (a2+b2)x^2 + (a1+b1)x + (a0+b0),
e
T(p+q) = l((a2+b2)-(a0+b0),;2(a0+b0)-(a1+b1)r) = (a2-a0,,2a0-a1) + (b2-b0,,2b0-b1) = T(p) + T(q)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c um escalar e
p(x)=a2x^2+a1x+a0
Então
c,p(x) = (c,a2)x^2 + (c,a1)x + (c,a0),
e
T(c,p) = l(c,a2-c,a0,;2(c,a0)-(c,a1)r) = c,(a2-a0,,2a0-a1) = c,T(p)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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