Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(h) T: R^2 longrightarrow M2 x 2(R), com T(x, y)=(ccx+y & -2 x y & x-2 y).

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^2 to M2times2(R), T(x,y) = x+y & -2x y & x-2y
Para mostrar que T é transformação linear, vamos verificar as duas propriedades:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (additividade)
  2. T(alpha v)=alpha,T(v) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v) = (x1+x2)+(y1+y2) & -2(x1+x2) y1+y2 & (x1+x2)-2(y1+y2)
Distribuindo a soma em cada entrada, obtemos
T(u+v) = x1+y1 & -2x1 y1 & x1-2y1 + x2+y2 & -2x2 y2 & x2-2y2 = T(u)+T(v)

Passo 3

Seja alphainR e v=(x,y). Então
alpha v = (alpha x,;alpha y)
e
T(alpha v) = alpha x+alpha y & -2(alpha x) alpha y & alpha x -2(alpha y) = alpha x+y & -2x y & x-2y = alpha,T(v)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a additividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A função T é linear.

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