Considere a transformação linear T: R^4 R^4 definida por
T(x, y, z, w)=(2 x, 2 y,-x+y+z, w)
a) (1.0 ponto) Determine uma base para a imagem de T.
b) ( 1.0 ponto) Verifique se T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^4 R^4 definida por T(x, y, z, w) = (2x, 2y, -x + y + z, w) . Vamos precisar entender os conceitos de imagem de uma transformação linear e isomorfismo para responder as duas partes do exercício.

Passo 2

Parte a) A gente precisa determinar uma base para a imagem de T . Primeiro, lembra que a imagem de T é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando T aos vetores de R^4 .

Passo 3

Vamos escrever a transformação T de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor a imagem. A matriz de T é:
A = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Para achar a imagem de T , precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Ou seja, a imagem é gerada pelos vetores coluna de A :
20-10, 0210, 0010, 0001

Passo 5

Agora, vamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes, porque uma base é um conjunto mínimo de vetores que geram o espaço. Observando:
  • O quarto vetor 0001 é claramente independente dos outros, já que tem um 1 na posição w .
  • Os outros três vetores têm componentes em x, y, z . Podemos ver que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 6

Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de T .

Passo 7

Parte b) Agora, vamos verificar se T é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é invertível, ou seja, bijetora (injeção e sobrejeção).

Passo 8

Para T ser um isomorfismo, a matriz A precisa ser invertível, o que ocorre se e somente se o determinante de A for diferente de zero.

Passo 9

Calculando o determinante de A :
det(A) = 2 times 2 times 1 times 1 = 4 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, A é invertível.

Passo 10

Portanto, T é um isomorfismo.

Resposta

a) Uma base para a imagem de T é composta pelos vetores ,20-10,, 0210,, 0010,, 0001, .
b) Sim, T é um isomorfismo.

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