a) (1.0 ponto) Determine uma base para a imagem de .
b) ( 1.0 ponto) Verifique se é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Vamos precisar entender os conceitos de imagem de uma transformação linear e isomorfismo para responder as duas partes do exercício.
Passo 2
Parte a) A gente precisa determinar uma base para a imagem de . Primeiro, lembra que a imagem de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando aos vetores de .
Passo 3
Vamos escrever a transformação de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor a imagem. A matriz de é:
Passo 4
Para achar a imagem de T , precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Ou seja, a imagem é gerada pelos vetores coluna de A :
20-10, 0210, 0010, 0001
Passo 5
Agora, vamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes, porque uma base é um conjunto mínimo de vetores que geram o espaço. Observando:
O quarto vetor 0001 é claramente independente dos outros, já que tem um 1 na posição w .
Os outros três vetores têm componentes em x, y, z . Podemos ver que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 6
Portanto, todos os quatro vetores são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de T .
Passo 7
Parte b) Agora, vamos verificar se T é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é invertível, ou seja, bijetora (injeção e sobrejeção).
Passo 8
Para T ser um isomorfismo, a matriz A precisa ser invertível, o que ocorre se e somente se o determinante de A for diferente de zero.
Passo 9
Calculando o determinante de A :
det(A) = 2 times 2 times 1 times 1 = 4 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, A é invertível.
Passo 10
Portanto, T é um isomorfismo.
Resposta
a) Uma base para a imagem de T é composta pelos vetores ,20-10,, 0210,, 0010,, 0001, .