Sistemas para treinar escalonamento. Em cada item encontre a solução geral (se tiver). A partir da solução geral encontre uma solução particular e teste sua solução no sistema (lembre-se: se sua resposta particular não funcionar é porque sua solução está errada; se funcionar, talvez esteja certa mas não temos garantias. Para garantir, só substituindo a geral e verificando).
2 x1+4 x2+6 x3+8 x4+10 x5 & =2 x1-2 x2-x3+3 x5 & =3 4 x1+4 x3+8 x4+16 x5 & =8

Passo 1

O enunciado dá o sistema
2x1+4x2+6x3+8x4+10x5=2, x1-2x2-x3+3x5=3, 4x1+4x3+8x4+16x5=8,
com 5 incógnitas e 3 equações. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral, identificar variáveis livres e depois escolher uma solução particular.

Passo 2

Escolhemos a segunda equação como pivô para eliminar x1 em (1) e (3):
  1. 2x1+4x2+6x3+8x4+10x5=2
  2. x1-2x2-x3+3x5=3
  3. 4x1+4x3+8x4+16x5=8
Fazendo
(1)(1)-2times(2), (3)(3)-4times(2),
obtemos
x1-2x2-x3+3x5=3, 8x2+8x3+8x4+4x5=-4, 0=0

Passo 3

Da segunda linha isolamos x2:
8x2=-4-8x3-8x4-4x5 Longrightarrow x2=-tfrac12 -x3-x4-tfrac12x5
Substituindo em x1-2x2-x3+3x5=3, vem
x1=3+2x2+x3-3x5 =3+2l(-tfrac12 -x3-x4-tfrac12x5r)+x3-3x5 =2 -x3-2x4-4x5

Passo 4

Como x3,x4,x5 são livres, chame-os de lambda,mu,nu. A solução geral é
x1=2 -lambda -2mu -4nu, x2=-tfrac12 -lambda -mu -tfrac12nu, x3=lambda, x4=mu, x5=nu, lambda,mu,nuinR

Passo 5

Uma solução particular rápida escolhe lambda=mu=nu=0, dando
(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,,-tfrac12,,0,,0,,0)
Testando no sistema original:
2cdot2+4l(-tfrac12r)=4-2=2, 2-2l(-tfrac12r)=2+1=3, 4cdot2=8,
logo satisfaz as três equações.

Resposta

Solução geral:
x1=2 -lambda -2mu -4nu, x2=-tfrac12 -lambda -mu -tfrac12nu, x3=lambda, x4=mu, x5=nu, lambda,mu,nuinR
Solução particular (por exemplo):
(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,,-tfrac12,,0,,0,,0)

Exercícios relacionados