Sabendo que T: R^3 R^3 é o operador linear dado pela matriz A=[ccc1 & 1 & 1 0 & 2 & -1 0 & -2 & 3]. Determine:
a) ( 1.0 ponto) Os autovalores de T.
b) (1.0 ponto) A multiplicidade geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e as multiplicidades geométricas do operador linear T com matriz
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & -1 0 & -2 & 3
em R^3. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, determinar a dimensão de cada autofpace para obter a multiplicidade geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 1 0 & 2-lambda & -1 0 & -2 & 3-lambda
Como os dois primeiros elementos da primeira coluna são zero, expandimos pela primeira coluna:
chiA(lambda) = (1-lambda),det 2-lambda & -1 -2 & 3-lambda
O determinante menor é
(2-lambda)(3-lambda) - (-1)(-2) = (2-lambda)(3-lambda) - 2 = (lambda^2 -5lambda +6) - 2 = lambda^2 -5lambda +4
Logo
chiA(lambda) = (1-lambda),(lambda^2 -5lambda +4) = (1-lambda)(lambda-1)(lambda-4)

Passo 3

Das raízes de chiA(lambda)=0 obtemos os autovalores:
lambda = 1 (mu< alg 2), lambda = 4 (mu< alg 1)

Passo 4

Para cada autovalor lambda, achamos a dimensão do núcleo de A - lambda I.
  1. Para lambda=1:
A - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & -1 0 & -2 & 2
O sistema (A-I)x=0 dá as equações
x2 + x3 = 0, x2 - x3 = 0,
que implicam x2 = x3 = 0, e x1 livre. Logo a dimensão do autofpace é 1.
  1. Para lambda=4:
A - 4I = -3 & 1 & 1 0 & -2 & -1 0 & -2 & -1
O sistema (A-4I)x=0
-2x2 - x3 = 0 implies x3 = -2x2, -3x1 + x2 + x3 = 0 implies x2 + (-2x2) = 3x1 implies x2 = -3x1
Logo x =(x1,-3x1,6x1) e a dimensão do autofpace é 1.

Resposta

a) Os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=4 (multiplicidade algébrica 1).
b) A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1 e de lambda=4 é 1.

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