Sejam A=[lll1 & 0 & 2 2 & 1 & 4 0 & 1 & 1] e B=[ccccc1 & 0 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 4 & 1 & 5 1 & 0 & 3 & 0 & 2].
(a) Verifique se A e B possuem inversas;
(b) Encontre a matriz A^-1;
(c) Use o resultado do item (b) acima para resolver o sistema:
A times[l x y z ]=[l 2 2 2 ]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=1 & 0 & 2 2 & 1 & 4 0 & 1 & 1, B= 1 & 0 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 & 3 & 4 0 & 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 4 & 1 & 5 1 & 0 & 3 & 0 & 2
Pede-se em (a) verificar se A e B são invertíveis (ou seja, se detneq0), em (b) encontrar A^-1 e em (c) resolver o sistema A[x;y;z]^T=[2;2;2]^T usando essa inversa. Vamos usar teoria de determinantes e o método de Gauss–Jordan para inversa e depois aplicar x=A^-1b.

Passo 2

Calcular det A por Laplace em primeira linha:
det A =1cdotdet1&41&1 -0+;2cdot(-1)^1+3det2&10&1 =1,(1-4)+2,(2)= -3+4=1neq0
Logo A é invertível. Para det B, fazemos R5 R5-R1 e obtemos forma quase triangular, de onde se chega a um bloco 4times 4 com det zero. Assim det B=0 e B não é invertível.

Passo 3

Encontrar A^-1 por Gauss–Jordan em [Amid I]:
l[, 1&0&2&mid&1&0&0 2&1&4&mid&0&1&0 0&1&1&mid&0&0&1 r] ;longrightarrow; l[, 1&0&0&mid&-3&2&-2 0&1&0&mid&-2&1&0 0&0&1&mid&2&-1&1 r]
Portanto,
A^-1 = -3 & 2 & -2 -2 & 1 & 0 2 & -1 & 1

Passo 4

Para resolver
usamos

Resposta

(a) A é invertível e B não é invertível.
(b) A^-1= -3 & 2 & -2 -2 & 1 & 0 2 & -1 & 1
(c) A solução do sistema é ,(x,y,z)=(-6,,-2,,4).

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