Determine uma:
(1.0 ponto) Transformação linear T: R^3 R^3 tal que N(T)=[(1,0,1),(1,1,1)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 cujo núcleo é
N(T)=span(1,0,1),(1,1,1). Vamos usar o teorema do posto-nulidade para determinar a dimensão da imagem e em seguida construir T de posto 1.

Passo 2

Como dimN(T)=2, pelo teorema do posto-nulidade
dimR^3 ;=;dimN(T)+rank(T) ;Longrightarrow; 3 = 2 + rank(T),
logo rank(T)=1. Isso significa que Im(T) é uma reta e que podemos escrever
T(x)=wl(u^T xr)
para algum uinR^3setminus0 e winR^3setminus0. Nesse caso
N(T)=xmid u^T x=0,
de modo que basta escolher u ortogonal a (1,0,1) e (1,1,1).

Passo 3

Calculamos um vetor perpendicular aos geradores do núcleo usando produto vetorial:
u = (1,0,1)times(1,1,1) = (-1,0,1)
Para simplificar podemos tomar também
u = (1,0,-1),
pois
(1,0,-1)cdot(1,0,1)=0
e
(1,0,-1)cdot(1,1,1)=0.

Passo 4

Escolhendo w=(1,0,0), definimos
T(x,y,z) = wl(u^T(x,y,z)r) = (1,0,0),(x - z) = (,x - z,;0,;0)
Então
N(T) =(x,y,z)mid x - z=0 =(a,b,a)mid a,binR =span(1,0,1),(1,1,1)

Resposta

T(x,y,z) = (,x - z,;0,;0)

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