Considere T: R^3 R^2, a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+y, y-z)
Sejam alpha=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) e beta=(1,2),(-1,1) bases ordenadas de R^3 e R^2, respectivamente. Determine [T]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;y-z),
a base ordenada do domínio alpha=v1=(1,0,1),,v2=(0,1,1),,v3=(1,1,1) e a base ordenada do contradomínio beta=w1=(1,2),,w2=(-1,1).
Queremos achar a matriz de T relativa a essas bases, isto é [T]beta^alpha. Para isso vamos: (i) calcular T(vj) para j=1,2,3 e (ii) expressar cada T(vj) como combinação de w1 e w2.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base alpha:
T(v1)=T(1,0,1)=(1+0,;0-1)=(1,-1),
T(v2)=T(0,1,1)=(0+1,;1-1)=(1,0),
T(v3)=T(1,1,1)=(1+1,;1-1)=(2,0)

Passo 3

Para escrever cada T(vj)=(x,y) na base beta, precisamos de escalares a,b tais que
a,w1 + b,w2 =a(1,2) + b(-1,1) = (a - b,;2a + b) = (x,y)
Resolvemos o sistema
a - b = x, 2a + b = y

Passo 4

Aplicando ao cada caso:
  1. Para
  2. Para :

Passo 5

A matriz [T]beta^alpha tem colunas formadas pelos vetores de coordenadas (a,b) acima, na ordem v1,v2,v3. Assim
[T]beta^alpha = 0 & tfrac13 & tfrac23 -1 & -tfrac23 & -tfrac43

Resposta

[T]beta^alpha = 0 & tfrac13 & tfrac23 -1 & -tfrac23 & -tfrac43

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