Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 ]
Determine, justificando sua resposta:
Encontre, se possível, uma base beta de R^3 tal que [T]beta seja diagonal.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]= 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3
Queremos saber se existe uma base beta de autovetores que torne [T]beta diagonal. Para isso vamos usar o processo de diagonalização: calcular autovalores (raízes do polinômio característico), depois verificar se há um número suficiente de autovetores (multiplicidade geométrica igual à algébrica).

Passo 2

Como [T] é triangular, seu polinômio característico é
detl([T]-lambda Ir) = (2-lambda),(-3-lambda)^2
Logo os autovalores são
lambda1=2(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2=-3(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 3

Calculamos os autovetores:
Para lambda1=2,
[T]-2I = 0 & 0 & 1 0 & -5 & 1 0 & 0 & -5 ,
de onde o sistema (T-2I)v=0 v3=0 e depois v2=0, mas v1 é livre. Um autovetor não nulo é
v^(1) = (1,0,0)^T
Para lambda2=-3,
[T]+3I = 5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
O sistema (T+3I)v=0 exige v3=0 e então 5v1=0, sobrando apenas v2 livre. Um autovetor não nulo é
v^(2) = (0,1,0)^T
Portanto a multiplicidade geométrica de lambda2=-3 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Como para lambda=-3 a dimensão do espaço próprio é 1<2, não há três autovetores linearmente independentes. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

Não existe base beta em que [T]beta seja diagonal, pois o autovalor -3 tem multiplicidade geométrica inferior à algébrica.

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