O enunciado pede para encontrarmos uma base do núcleo e uma base da imagem do operador linear
O assunto é Álgebra Linear: vamos representar por uma matriz na base canônica, calcular o espaço nulo (solução de ) e o espaço coluna (colunas independentes de ).
Passo 2
Escrevemos a matriz de em relação à base canônica . Se ,
Chamemos essa matriz de
]
Passo 3
Para
Da segunda equação vem obtemos
A terceira equação é então , que se verifica. Logo o vetor genérico do núcleo é
Assim é de dimensão e uma base é
Passo 4
Para Im(T) observamos que é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c1 = (1,1,2), c2 = (1,0,1), c3 = (4,-1,3)
Verificamos que c3 = -1cdot c1 + 5cdot c2, então só precisamos de c1 e c2, que são linearmente independentes. Logo Im(T) tem dimensão 2 e uma base é
, (1,1,2),;(1,0,1)
Resposta
Base de ker(T): (1,-5,1)
Base de Im(T): (1,1,2),,(1,0,1)