Seja T o operador linear do R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+y+4 z, x-z, 2 x+y+3 z)
Encontre uma base para Ker(T) e uma base para a Im(T).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base do núcleo ker(T) e uma base da imagem Im(T) do operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + y + 4z,;x - z,;2x + y + 3z,)
O assunto é Álgebra Linear: vamos representar T por uma matriz na base canônica, calcular o espaço nulo (solução de Av=0) e o espaço coluna (colunas independentes de A).

Passo 2

Escrevemos a matriz de em relação à base canônica . Se ,
Chamemos essa matriz de
]

Passo 3

Para
Da segunda equação vem obtemos
A terceira equação é então , que se verifica. Logo o vetor genérico do núcleo é
Assim é de dimensão e uma base é

Passo 4

Para Im(T) observamos que é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c1 = (1,1,2), c2 = (1,0,1), c3 = (4,-1,3)
Verificamos que c3 = -1cdot c1 + 5cdot c2, então só precisamos de c1 e c2, que são linearmente independentes. Logo Im(T) tem dimensão 2 e uma base é
, (1,1,2),;(1,0,1)

Resposta

Base de ker(T): (1,-5,1)
Base de Im(T): (1,1,2),,(1,0,1)

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