Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 ]
Determine, justificando sua resposta:
O polinômio característico de T

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 representado por uma matriz na base canônica. Queremos descobrir o polinômio característico de T . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte de matrizes e autovalores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que a gente obtém a partir da matriz do operador linear, e ele é importante porque suas raízes são os autovalores da matriz. Para encontrar esse polinômio, a gente precisa calcular o determinante de [T] - lambda I , onde lambda é um escalar (o autovalor) e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz [T] - lambda I . A matriz identidade I em R^3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, subtraindo lambda I da matriz [T] , temos:
[T] - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz [T] - lambda I . Como ela é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Mas atenção: nesse caso, há um elemento fora da diagonal, mas como o termo a13 = 1 não interfere no determinante de uma matriz triangular superior, podemos seguir com o cálculo direto.
Então, o determinante é:
det([T] - lambda I) = (2 - lambda) times (-3 - lambda) times (-3 - lambda)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que (-3 - lambda) aparece duas vezes, então podemos escrever:
det([T] - lambda I) = (2 - lambda)(-3 - lambda)^2
Expandindo isso:
(2 - lambda)(-3 - lambda)^2 = (2 - lambda)(lambda^2 + 6lambda + 9)
Agora, distribuindo (2 - lambda) :
2(lambda^2 + 6lambda + 9) - lambda(lambda^2 + 6lambda + 9) = 2lambda^2 + 12lambda + 18 - lambda^3 - 6lambda^2 - 9lambda
Simplificando os termos:
-lambda^3 - 4lambda^2 + 3lambda + 18
Mas geralmente escrevemos com o termo de maior grau primeiro e mudamos o sinal para tornar o polinômio padrão:
lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda - 18

Resposta

O polinômio característico de T é:
p(lambda) = lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda - 18

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