Seja um operador linear cuja matriz na base canônica é
Determine, justificando sua resposta:
O polinômio característico de T
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 representado por uma matriz na base canônica. Queremos descobrir o polinômio característico de T . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte de matrizes e autovalores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o polinômio característico de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que a gente obtém a partir da matriz do operador linear, e ele é importante porque suas raízes são os autovalores da matriz. Para encontrar esse polinômio, a gente precisa calcular o determinante de [T] - lambda I , onde lambda é um escalar (o autovalor) e I é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz [T] - lambda I . A matriz identidade I em R^3 é:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz [T] - lambda I . Como ela é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Mas atenção: nesse caso, há um elemento fora da diagonal, mas como o termo a13 = 1 não interfere no determinante de uma matriz triangular superior, podemos seguir com o cálculo direto.
Então, o determinante é:
det([T] - lambda I) = (2 - lambda) times (-3 - lambda) times (-3 - lambda)
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que (-3 - lambda) aparece duas vezes, então podemos escrever: