Beleza, vamos lá! O problema nos dá um operador linear de definido por
e pergunta se é injetora e se é sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade em operadores lineares, além de aplicar alguns procedimentos básicos de álgebra linear, como análise de matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o operador ser injetora. Um operador linear é injetor se diferentes vetores de entrada resultarem em diferentes vetores de saída. Na prática, isso significa que se implica que , ou seja, o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero.
Passo 3
Para verificar se [T) é injetora, vamos resolver a equação . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é (x = y = z = 0].
Passo 4
Do segundo a equação x - z = 0 , temos que x = z . Substituindo x por z na primeira equação:
z + y + 4z = 0 Rightarrow y + 5z = 0 Rightarrow y = -5z
Agora substituímos x = z e y = -5z na terceira equação:
2z + (-5z) + 3z = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso significa que qualquer múltiplo de z satisfaz o sistema, ou seja, existe uma infinidade de soluções além de z = 0 . Portanto, o núcleo de T não é trivial, e T não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se T é sobrejetora. Para isso, precisamos verificar se para todo vetor (a, b, c) em R^3 , existe um vetor (x, y, z) tal que T(x, y, z) = (a, b, c) .
Vamos montar a matriz associada a T :
A = 1 & 1 & 4 1 & 0 & -1 2 & 1 & 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é invertível (o que implicaria que T é sobrejetora e injetora):