Seja T o operador linear do R^3 definido por
T(x, y, z)=(x+y+4 z, x-z, 2 x+y+3 z)
T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um operador linear T de R^3 definido por
T(x, y, z) = (x + y + 4z, , x - z, , 2x + y + 3z)
e pergunta se T é injetora e se é sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade em operadores lineares, além de aplicar alguns procedimentos básicos de álgebra linear, como análise de matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o operador T ser injetora. Um operador linear é injetor se diferentes vetores de entrada resultarem em diferentes vetores de saída. Na prática, isso significa que se T(x, y, z) = T(x', y', z') implica que (x, y, z) = (x', y', z') , ou seja, o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero.

Passo 3

Para verificar se [T) é injetora, vamos resolver a equação . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é (x = y = z = 0].

Passo 4

Do segundo a equação x - z = 0 , temos que x = z . Substituindo x por z na primeira equação:
z + y + 4z = 0 Rightarrow y + 5z = 0 Rightarrow y = -5z
Agora substituímos x = z e y = -5z na terceira equação:
2z + (-5z) + 3z = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso significa que qualquer múltiplo de z satisfaz o sistema, ou seja, existe uma infinidade de soluções além de z = 0 . Portanto, o núcleo de T não é trivial, e T não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se T é sobrejetora. Para isso, precisamos verificar se para todo vetor (a, b, c) em R^3 , existe um vetor (x, y, z) tal que T(x, y, z) = (a, b, c) .
Vamos montar a matriz associada a T :
A = 1 & 1 & 4 1 & 0 & -1 2 & 1 & 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é invertível (o que implicaria que T é sobrejetora e injetora):
det(A) = 1 cdot (0 cdot 3 - (-1) cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot 2) + 4 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = 1 cdot (0 + 1) - 1 cdot (3 + 2) + 4 cdot (1 - 0) = 1 - 5 + 4 = 0
Como o determinante é zero, a matriz A não é invertível. Portanto, T não é sobrejetora.

Resposta

O operador linear T não é injetora e não é sobrejetora.

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