Considere T: R^2 R^2 a transformação linear descrita nos itens a seguir. Determine a matriz da transformação linear em relação à base canônica.
T gira o vetor em sentido anti-horário em torno da origem de um ângulo de 45^circ

Passo 1

O enunciado nos pede a matriz da transformação linear T que gira vetores de R^2 em sentido anti-horário de 45^circ em relação à base canônica. Vamos usar a fórmula conhecida da matriz de rotação em R^2.

Passo 2

Em R^2, a matriz padrão de rotação de um ângulo theta em torno da origem, no sentido anti-horário, relativa à base canônica é
R(theta) = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta)
Vamos aplicar com theta=45^circ (ou pi/4 radianos).

Passo 3

Calcule cos(45^circ) e sin(45^circ). Sabemos que
cosl(45^circr) = sinl(45^circr) = raiz22

Passo 4

Substituindo esses valores em R(theta), obtemos
Rl(45^circr) = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22

Resposta

A matriz de T em relação à base canônica é
raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22

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