Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o subespaço vetorial dentro do espaço vetorial . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como identificar vetores que podem gerar todo o subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso nos dá uma relação entre as componentes e dos vetores no subespaço . Basicamente, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, vamos expressar esse vetor de uma maneira que nos ajude a identificar uma base. Podemos separar os termos que dependem de e :
Aqui, estamos escrevendo o vetor como uma combinação linear de dois vetores: e .
Passo 4
Para que esses vetores formem uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o subespaço [\mathbf{S}). Vamos verificar a independência linear:
Suponha que . Isso resulta no sistema:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como esses vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em S pode ser escrito como uma combinação linear deles, concluímos que eles formam uma base para S.
Resposta
Uma base para o subespaço S é , (1, 2, 0), (0, 0, 1) ,.