Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial V=R^3 :
S=(x, y, z) in R^3: y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o subespaço vetorial S = (x, y, z) in R^3 : y = 2x dentro do espaço vetorial R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como identificar vetores que podem gerar todo o subespaço S.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que y = 2x. Isso nos dá uma relação entre as componentes x e y dos vetores no subespaço S. Basicamente, qualquer vetor em S tem a forma (x, 2x, z), onde x e z podem ser quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, vamos expressar esse vetor de uma maneira que nos ajude a identificar uma base. Podemos separar os termos que dependem de x e z:
(x, 2x, z) = x(1, 2, 0) + z(0, 0, 1)
Aqui, estamos escrevendo o vetor como uma combinação linear de dois vetores: (1, 2, 0) e (0, 0, 1).

Passo 4

Para que esses vetores formem uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o subespaço [\mathbf{S}). Vamos verificar a independência linear:
Suponha que . Isso resulta no sistema:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como esses vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em S pode ser escrito como uma combinação linear deles, concluímos que eles formam uma base para S.

Resposta

Uma base para o subespaço S é , (1, 2, 0), (0, 0, 1) ,.

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