Seja T: V W linear. Mostre que T é injetora se, e somente se, dim(Im(T))=dim(V).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:Vto W e pede para mostrar que T é injetora exatamente quando dim(Im(T))=dim(V). O que vamos precisar:
  1. A definição de injetividade: T é injetora se e somente se ker(T)=0.
  2. O Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão): dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))

Passo 2

Suponha que T seja injetora. Então, pela definição,
ker(T)=0
e daí
dim(ker(T))=0
Usando o Teorema da Dimensão, temos
dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T))=0+dim(Im(T))=dim(Im(T))
Logo, se T é injetora então dim(Im(T))=dim(V).

Passo 3

Agora suponha que dim(Im(T))=dim(V). Pelo Teorema da Dimensão segue
dim(V)=dim(ker(T))+dim(Im(T)) Longrightarrow dim(ker(T))=dim(V)-dim(Im(T))=0
Como dim(ker(T))=0, a única forma é ker(T)=0. Portanto T é injetora.

Resposta

Mostramos que T é injetora se, e somente se, dim(Im(T))=dim(V).

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