Seja
linear. Mostre que T é injetora se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e pede para mostrar que
é injetora exatamente quando
. O que vamos precisar:
- A definição de injetividade:
é injetora se e somente se . - O Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão):
Passo 2
Suponha que
seja injetora. Então, pela definição,
e daí
Usando o Teorema da Dimensão, temos
Logo, se
é injetora então
.
Passo 3
Agora suponha que
. Pelo Teorema da Dimensão segue
Como
, a única forma é
. Portanto
é injetora.
Resposta
Mostramos que
é injetora se, e somente se,
.