Seja (V=R^3,+, cdot) o espaço vetorial com as operações usuais. Com
U=(a, b, 0): a, b in R
e W=[(1,2,3),(1,-1,1)] subespaços de V=R^3. Encontre a dim(U+W).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 com os subespaços
U=(a,b,0):a,binR, W=span(1,2,3),(1,-1,1)
Queremos dim(U+W). Usaremos a fórmula de Grassmann:
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)

Passo 2

Calculamos
Em temos dois vetores geradores. Para verificar independência linear, escrevemos
que dá o sistema
Dessa sequência segue (\alpha=\beta=0], logo os geradores são independentes e

Passo 3

Determinamos Ucap W. Um vetor geral de W é
v=(alpha+beta,;2alpha-beta,;3alpha+beta)
Para vin U precisamos 3alpha+beta=0, isto é beta=-3alpha. Então
v=(alpha-3alpha,;2alpha+3alpha,;0)=alpha(-2,5,0)
Portanto
Ucap W=span(-2,5,0),
e
dim(Ucap W)=1

Passo 4

Aplicando a fórmula de Grassmann:
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W) =2+2-1=3

Resposta

3

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