Considere a transformação linear T(x, y, z, w)=(x-y, x+y-2 w, w-z), com T: R^4 R^3.
Determine uma base e a dimensão da imagem de T.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transformação linear! A questão nos dá uma transformação T: R^4 R^3 definida por T(x, y, z, w) = (x - y, x + y - 2w, w - z) . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de T e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, matrizes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a qualquer vetor de R^4 . Para encontrar essa imagem, podemos representar T como uma matriz e analisar o espaço gerado por suas colunas.

Passo 3

Vamos representar a transformação T por uma matriz. Cada coluna da matriz corresponde à transformação das coordenadas unitárias de R^4 . Ou seja, temos:
A = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1
Aqui, cada coluna representa T(e1) , T(e2) , T(e3) e T(e4) , respectivamente.

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar quais colunas da matriz A são linearmente independentes. Vamos verificar isso utilizando métodos de eliminação, como a redução por linhas.

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss na matriz A :
1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1
Subtraímos a primeira linha da segunda:
1 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que todas as três colunas iniciais têm pivôs, o que indica que elas são linearmente independentes.

Passo 6

Como todas as três colunas são linearmente independentes, uma base para a imagem de T é formada por essas três colunas. Portanto, a base é:
1 1 0 , -1 1 0 , 0 0 -1

Passo 7

A dimensão da imagem de T é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão da imagem de T é 3.

Resposta

Uma base para a imagem de T é 110, -110, 00-1 e a dimensão da imagem de T é 3.

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