Considere a transformação linear , com .
Determine uma base e a dimensão da imagem de .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre transformação linear! A questão nos dá uma transformação definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de e determinar sua dimensão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, matrizes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Para encontrar essa imagem, podemos representar como uma matriz e analisar o espaço gerado por suas colunas.
Passo 3
Vamos representar a transformação por uma matriz. Cada coluna da matriz corresponde à transformação das coordenadas unitárias de . Ou seja, temos:
Aqui, cada coluna representa T(e1) , T(e2) , T(e3) e T(e4) , respectivamente.
Passo 4
Agora, para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar quais colunas da matriz A são linearmente independentes. Vamos verificar isso utilizando métodos de eliminação, como a redução por linhas.
Passo 5
Aplicando a eliminação de Gauss na matriz A :
1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1
Subtraímos a primeira linha da segunda:
1 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos ver que todas as três colunas iniciais têm pivôs, o que indica que elas são linearmente independentes.
Passo 6
Como todas as três colunas são linearmente independentes, uma base para a imagem de T é formada por essas três colunas. Portanto, a base é:
1 1 0 , -1 1 0 , 0 0 -1
Passo 7
A dimensão da imagem de T é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão da imagem de T é 3.
Resposta
Uma base para a imagem de T é 110, -110, 00-1 e a dimensão da imagem de T é 3.