Considere a transformação linear , com .
Determine uma base e a dimensão do núcleo de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre Transformações Lineares, especificamente uma transformação definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar o núcleo de uma transformação linear, que basicamente consiste em encontrar todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Ou seja:
Passo 3
Vamos traduzir isso em um sistema de equações:
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar todas as soluções (x, y, z, w) .
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da primeira equação: x - y = 0 Rightarrow x = y .
Da terceira equação: w - z = 0 Rightarrow z = w .
Substituindo x = y e z = w na segunda equação:
x + y - 2w = 0 Rightarrow y + y - 2w = 0 Rightarrow 2y - 2w = 0 Rightarrow y = w
Como y = w e x = y , então x = w .
Passo 5
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de w :
x = w, y = w, z = w, w = w
Podemos escrever o vetor (x, y, z, w) como:
(w, w, w, w) = w cdot (1, 1, 1, 1)
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor (1, 1, 1, 1) .
Resposta
Portanto, uma base para o núcleo de T é , (1,,1,,1,,1) e a dimensão do núcleo é 1 .