Considere a transformação linear T(x, y, z, w)=(x-y, x+y-2 w, w-z), com T: R^4 R^3.
Determine uma base e a dimensão do núcleo de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre Transformações Lineares, especificamente uma transformação T: R^4 R^3 definida por T(x, y, z, w) = (x - y, x + y - 2w, w - z) . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como encontrar o núcleo de uma transformação linear, que basicamente consiste em encontrar todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores (x, y, z, w) em R^4 que satisfazem T(x, y, z, w) = 0 . Ou seja:
T(x, y, z, w) = (x - y, x + y - 2w, w - z) = (0, 0, 0)

Passo 3

Vamos traduzir isso em um sistema de equações:
x - y = 0 x + y - 2w = 0 w - z = 0
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar todas as soluções (x, y, z, w) .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação: x - y = 0 Rightarrow x = y .
  2. Da terceira equação: w - z = 0 Rightarrow z = w .
  3. Substituindo x = y e z = w na segunda equação:
x + y - 2w = 0 Rightarrow y + y - 2w = 0 Rightarrow 2y - 2w = 0 Rightarrow y = w
Como y = w e x = y , então x = w .

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de w :
x = w, y = w, z = w, w = w
Podemos escrever o vetor (x, y, z, w) como:
(w, w, w, w) = w cdot (1, 1, 1, 1)
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor (1, 1, 1, 1) .

Resposta

Portanto, uma base para o núcleo de T é , (1,,1,,1,,1) e a dimensão do núcleo é 1 .

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