Seja T: R^2 R^3 uma transformação linear que satisfaz: T(-1,2)=(4,0,2), T(1,0)=(2,2,0).
O vetor v=(-2,-2,1) in Im(T) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de transformações lineares, que fazem parte do conteúdo de Álgebra Linear. A questão nos dá uma transformação linear T: R^2 R^3 com algumas imagens específicas de vetores e pergunta se um determinado vetor v = (-2, -2, 1) pertence à imagem dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como determinar se um vetor está na imagem delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear T mapeia vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeita duas propriedades importantes: adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, T está mapeando vetores de R^2 para R^3 .

Passo 3

A imagem de uma transformação linear, denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^2 . Ou seja, para verificar se v = (-2, -2, 1) está na imagem de T , precisamos descobrir se existe algum vetor (x, y) em R^2 tal que T(x, y) = v .

Passo 4

Sabemos que:
T(-1, 2) = (4, 0, 2) e T(1, 0) = (2, 2, 0)
Como T é linear, podemos expressar qualquer vetor na imagem de T como uma combinação linear desses vetores. Ou seja:
T(x, y) = x cdot T(1, 0) + y cdot T(-1, 2) = x cdot (2, 2, 0) + y cdot (4, 0, 2)

Passo 5

Vamos montar a equação para encontrar (x, y) que satisfaz T(x, y) = v :
x cdot (2, 2, 0) + y cdot (4, 0, 2) = (-2, -2, 1)
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
2x + 4y = -2 2x + 0y = -2 0x + 2y = 1

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Segunda equação: 2x = -2
    Dividindo ambos os lados por 2:
x = -1
  1. Terceira equação: 2y = 1
    Dividindo ambos os lados por 2:
y = 0,5
  1. Primeira equação: Substituindo x e y :
    2(-1) + 4(0,5) = -2 + 2 = 0
    Mas o lado direito da equação é -2, então:
    0 neq -2

Passo 7

Como a primeira equação não é satisfeita (0 não é igual a -2), isso indica que não há valores de x e y que resolvam todo o sistema simultaneamente. Portanto, não existe um vetor (x, y) em R^2 tal que T(x, y) = (-2, -2, 1) .

Resposta

O vetor v = (-2, -2, 1) não pertence à imagem da transformação linear T .

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