Seja uma transformação linear que satisfaz: .
O vetor ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de transformações lineares, que fazem parte do conteúdo de Álgebra Linear. A questão nos dá uma transformação linear com algumas imagens específicas de vetores e pergunta se um determinado vetor pertence à imagem dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como determinar se um vetor está na imagem delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear mapeia vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeita duas propriedades importantes: adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, está mapeando vetores de para .
Passo 3
A imagem de uma transformação linear, denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Ou seja, para verificar se está na imagem de , precisamos descobrir se existe algum vetor em tal que .
Passo 4
Sabemos que:
Como é linear, podemos expressar qualquer vetor na imagem de como uma combinação linear desses vetores. Ou seja:
Passo 5
Vamos montar a equação para encontrar que satisfaz :
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Segunda equação: 2x = -2
Dividindo ambos os lados por 2:
x = -1
Terceira equação: 2y = 1
Dividindo ambos os lados por 2:
y = 0,5
Primeira equação: Substituindo x e y : 2(-1) + 4(0,5) = -2 + 2 = 0
Mas o lado direito da equação é -2, então: 0 neq -2
Passo 7
Como a primeira equação não é satisfeita (0 não é igual a -2), isso indica que não há valores de x e y que resolvam todo o sistema simultaneamente. Portanto, não existe um vetor (x, y) em R^2 tal que T(x, y) = (-2, -2, 1) .
Resposta
O vetor v = (-2, -2, 1) não pertence à imagem da transformação linear T .