Considere a transformação linear , com .
Determine a matriz associada a transformação linear nas bases canônicas de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação nas bases canônicas de e . Para isso, vamos precisar saber como as transformações lineares se representam em matrizes e como aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que, para qualquer vetor em , . As colunas dessa matriz são as imagens dos vetores da base canônica de através de .
Passo 3
As bases canônicas de são os vetores:
Vamos aplicar a cada um desses vetores.
Passo 4
Calculando :
Então, a primeira coluna de é .
Passo 5
Calculando :
A segunda coluna de é .
Passo 6
Calculando :
A terceira coluna de é .
Passo 7
Calculando :
A quarta coluna de é .
Passo 8
Agora, juntando todas as colunas, a matriz fica:
Resposta
A matriz associada à transformação linear T nas bases canônicas é: