Considere a transformação linear T(x, y, z, w)=(x-y, x+y-2 w, w-z), com T: R^4 R^3.
Determine a matriz [T] associada a transformação linear T nas bases canônicas de R^4 e R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear T: R^4 R^3 definida por T(x, y, z, w) = (x - y, x + y - 2w, w - z) . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação nas bases canônicas de R^4 e R^3 . Para isso, vamos precisar saber como as transformações lineares se representam em matrizes e como aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz [T] tal que, para qualquer vetor v em R^4 , T(v) = [T] cdot v . As colunas dessa matriz são as imagens dos vetores da base canônica de R^4 através de T .

Passo 3

As bases canônicas de R^4 são os vetores:
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)
Vamos aplicar T a cada um desses vetores.

Passo 4

Calculando T(e1) :
T(1, 0, 0, 0) = (1 - 0, 1 + 0 - 2 cdot 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
Então, a primeira coluna de [T] é (1, 1, 0) .

Passo 5

Calculando T(e2) :
T(0, 1, 0, 0) = (0 - 1, 0 + 1 - 2 cdot 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)
A segunda coluna de [T] é (-1, 1, 0) .

Passo 6

Calculando T(e3) :
T(0, 0, 1, 0) = (0 - 0, 0 + 0 - 2 cdot 0, 0 - 1) = (0, 0, -1)
A terceira coluna de [T] é (0, 0, -1) .

Passo 7

Calculando T(e4) :
T(0, 0, 0, 1) = (0 - 0, 0 + 0 - 2 cdot 1, 1 - 0) = (0, -2, 1)
A quarta coluna de [T] é (0, -2, 1) .

Passo 8

Agora, juntando todas as colunas, a matriz [T] fica:
[T] = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1

Resposta

A matriz associada à transformação linear T nas bases canônicas é:
[T] = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & -1 & 1

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