Dadas as bases B=(2,-1),(1,1) de R^2 e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) base canônica de R^3, determine a matriz da transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(y, x+y, 0) nas bases B e C, ou seja, ache [T]C^B.

Passo 1

Temos a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (y,;x+y,;0),
e as bases
B = ,v1=(2,-1),;v2=(1,1)subsetR^2 e C=e1,e2,e3
(base canônica de R^3).
Para encontrar [T]C^B, basta calcular T(v1) e T(v2) e escrever esses vetores em coordenadas da base C; essas serão as colunas da matriz.

Passo 2

Calcular T(v1) com v1=(2,-1):
T(2,-1) = l(-1,;2+(-1),;0r) = (-1,,1,,0)
Em coordenadas da base canônica C, isso dá a coluna
[T(v1)]C = -110

Passo 3

Calcular T(v2) com v2=(1,1):
T(1,1) = l(1,;1+1,;0r) = (1,,2,,0)
Em coordenadas da base canônica C, isso dá a coluna
[T(v2)]C = 120

Passo 4

Montamos [T]C^B colocando [T(v1)]C como primeira coluna e [T(v2)]C como segunda coluna. Assim,
[T]C^B = -1 & 1 1 & 2 0 & 0

Resposta

[T]C^B = -1 & 1 1 & 2 0 & 0

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