Seja uma transformação linear que satisfaz: .
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear que transforma vetores do plano para o espaço . Precisamos descobrir como essa transformação atua em qualquer vetor . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e matrizes que representam essas transformações.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma transformação linear: ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos e para vetores e escalar .
Passo 3
Agora, como representar isso com matrizes? Uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja:
Onde tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b, c, d, e, f .
Passo 4
Sabemos que:
T(-1, 2) = 4 0 2
T(1, 0) = 2 2 0
Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações e descobrir os coeficientes da matriz A .
Passo 5
Primeiro, aplicando a transformação linear na combinação (-1, 2) :
A -1 2 = 4 0 2
Isso nos dá:
-1 cdot a c e + 2 cdot b d f = 4 0 2
Que resulta em:
- a + 2b = 4 (1)
- c + 2d = 0 (2)
- e + 2f = 2 (3)
Passo 6
Agora, aplicando a transformação linear em (1, 0) :
A 1 0 = 2 2 0
Isso significa:
1 cdot a c e + 0 cdot b d f = 2 2 0
Simplificando, temos:
a = 2 (4)
c = 2 (5)
e = 0 (6)
Passo 7
Vamos substituir a = 2 na equação (1):
-2 + 2b = 4 implies 2b = 6 implies b = 3
Substituindo c = 2 na equação (2):
-2 + 2d = 0 implies 2d = 2 implies d = 1
E substituindo e = 0 na equação (3):
-0 + 2f = 2 implies 2f = 2 implies f = 1
Passo 8
Agora que encontramos todos os coeficientes, a matriz A fica:
A = 2 & 3 2 & 1 0 & 1
Portanto, a transformação linear T(x, y) é dada por:
T(x, y) = A x y = 2x + 3y 2x + y y
Resposta
A transformação linear é T(x, y) = 2x + 3y 2x + y y .