a) Seja
. Verifique que
é uma base para
(conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n). Esta base é chamada base canônica de
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto
e precisa verificar se ele é uma base para
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a
. Basicamente, pra isso, precisamos mostrar que os vetores em
são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço
. Vamos precisar entender direitinho esses conceitos de base, independência linear e geração de espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em termos simples, uma base para um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Vamos começar verificando se os vetores em
são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos ver se a equação:
só tem a solução
.
Passo 4
Suponha que a combinação acima seja igual a zero para todos os valores de
. Como os monômios
são funções diferentes, a única maneira de essa igualdade ser verdadeira para todos os
é se todos os coeficientes
forem zero. Portanto, os vetores em
são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos ver se
gera todo o espaço
. Isso significa que qualquer polinômio de grau menor ou igual a
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. De fato, qualquer polinômio
em
pode ser expresso como:
onde
são coeficientes reais. Isso mostra que
é uma combinação linear dos elementos de
, ou seja,
gera
.
Resposta
Como
é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço
, concluímos que
é uma base canônica para
.