a) Seja S=1, t, t^2, ldots, t^n. Verifique que S é uma base para P^n (conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n). Esta base é chamada base canônica de P^n.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto S = 1, t, t^2, ldots, t^n e precisa verificar se ele é uma base para P^n , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n . Basicamente, pra isso, precisamos mostrar que os vetores em S são linearmente independentes e que eles geram todo o espaço P^n . Vamos precisar entender direitinho esses conceitos de base, independência linear e geração de espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma base. Em termos simples, uma base para um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Vamos começar verificando se os vetores em S são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos ver se a equação:
a0 cdot 1 + a1 cdot t + a2 cdot t^2 + ldots + an cdot t^n = 0
só tem a solução a0 = a1 = ldots = an = 0 .

Passo 4

Suponha que a combinação acima seja igual a zero para todos os valores de t . Como os monômios 1, t, t^2, ldots, t^n são funções diferentes, a única maneira de essa igualdade ser verdadeira para todos os t é se todos os coeficientes a0, a1, ldots, an forem zero. Portanto, os vetores em S são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos ver se S gera todo o espaço P^n . Isso significa que qualquer polinômio de grau menor ou igual a n pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S . De fato, qualquer polinômio p(t) em P^n pode ser expresso como:
p(t) = b0 + b1 t + b2 t^2 + ldots + bn t^n
onde b0, b1, ldots, bn são coeficientes reais. Isso mostra que p(t) é uma combinação linear dos elementos de S , ou seja, S gera P^n .

Resposta

Como S = 1, t, t^2, ldots, t^n é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço P^n , concluímos que S é uma base canônica para P^n .

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