Considere a transformação linear T(x, y, z)=(x+y+z, x+y, x). Determine:
As dimensões do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
;TcolonR^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y+z,;x+y,;x)
Queremos encontrar dim(ker T) e dim(imT). Para isso, vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular o posto (rank) dessa matriz e usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

A matriz de em relação à base canônica de é
pois

Passo 3

Vamos verificar se A é invertível, calculando seu determinante:
det(A) =1cdot1&00&0 -1cdot1&01&0 +1cdot1&11&0 =0-0+(-1)=-1neq0
Como det(A)neq0, o posto de A é 3.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) em R^3:
dim(ker T) + dim(imT) = 3
Como rank(A)=3, temos dim(imT)=3 e, portanto, dim(ker T)=0.

Resposta

dim(ker T)=0 e dim(imT)=3.

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