Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se a transformação linear definida por
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e como podemos verificar isso usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, o conjunto imagem de deve cobrir todo o espaço de chegada .
Passo 3
Para verificar se é sobrejetora, vamos analisar a matriz associada a essa transformação e determinar se seu posto (rank) é igual à dimensão do espaço de chegada, ou seja, se o posto é 4. A matriz de é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de :
Passo 4
Agora, vamos determinar o posto dessa matriz A . O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para isso, podemos realizar operações elementares nas linhas para trazer a matriz à forma escalonada.
Primeiro, observamos que as primeiras duas linhas já estão bem posicionadas:
Agora, vamos simplificar as últimas duas linhas. Note que a terceira linha é [0 0 -1 0] e a quarta linha é [0 0 1 0] . Se somarmos essas duas linhas, teremos:
Agora, contamos as linhas não nulas: temos 3 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz A é 3.
Passo 6
Como o posto da matriz A é 3, que é menor que a dimensão do espaço de chegada R^4 , concluímos que a transformação T não é sobrejetora. Isso porque o posto menor que a dimensão do espaço de chegada indica que nem todo vetor em R^4 pode ser atingido pela transformação T .
Resposta
Não, a transformação T não é sobrejetora, pois o posto da matriz associada é menor que 4.