Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-w, y-w,-z, z)
A transformação T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se a transformação linear T: R^4 R^4 definida por
T(x, y, z, w) = (x - w, y - w, -z, z)
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e como podemos verificar isso usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação linear T: R^n R^m é sobrejetora se, para todo vetor b em R^m , existe pelo menos um vetor a em R^n tal que T(a) = b . Em outras palavras, o conjunto imagem de T deve cobrir todo o espaço de chegada R^m .

Passo 3

Para verificar se T é sobrejetora, vamos analisar a matriz associada a essa transformação e determinar se seu posto (rank) é igual à dimensão do espaço de chegada, ou seja, se o posto é 4. A matriz de T é formada pelos coeficientes das variáveis x, y, z, w nas expressões de T(x, y, z, w) :
A = 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos determinar o posto dessa matriz A . O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para isso, podemos realizar operações elementares nas linhas para trazer a matriz à forma escalonada.
Primeiro, observamos que as primeiras duas linhas já estão bem posicionadas:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0
Agora, vamos simplificar as últimas duas linhas. Note que a terceira linha é [0 0 -1 0] e a quarta linha é [0 0 1 0] . Se somarmos essas duas linhas, teremos:
[0 0 -1 0] + [0 0 1 0] = [0 0 0 0]
Então, a quarta linha se torna uma linha nula.

Passo 5

Após a simplificação, a matriz fica assim:
1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Agora, contamos as linhas não nulas: temos 3 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz A é 3.

Passo 6

Como o posto da matriz A é 3, que é menor que a dimensão do espaço de chegada R^4 , concluímos que a transformação T não é sobrejetora. Isso porque o posto menor que a dimensão do espaço de chegada indica que nem todo vetor em R^4 pode ser atingido pela transformação T .

Resposta

Não, a transformação T não é sobrejetora, pois o posto da matriz associada é menor que 4.

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